ANALISIS MATEMATICO PARA ECONOMISTAS

Presentación del tema: "ANALISIS MATEMATICO PARA ECONOMISTAS"— Transcripción de la presentación:

1 ANALISIS MATEMATICO PARA ECONOMISTAS
Cálculo de áreas: Integral definida

2 Área de rectángulos Considere las funciones continuas f(x) = 3 y f(x) = m, en el intervalo [0, x]. (m > 0) f(x) = m x f(x) = 3 x m 3 R R El área del rectángulo determinado por f(x) = 3, El área del rectángulo determinado por f(x) = m, es: A = 3x es: A = mx Note que: A´= 3 A´= m

3 Área de triángulos Considere ahora las funciones continuas f(x) = 3x y f(x) = mx, en el intervalo [0, x]. (m > 0) f(x) = 3x f(x) = mx x x R R x 3x x mx Área A = = Área A = = 2 2 Note que: A´= 3x A´= mx

4 Área del trapecio Considere ahora la función continua f(x) = mx + b en [0, x]. f(x) = mx + b se puede dividir en dos partes: El área A del trapecio x mx área del = x b b R x mx área del = = 2 bx Por lo tanto A = + Note que: A´= mx + b

5 Para cada f(x) observe la función área A(x)
f(x) = b f(x) = 3x f(x) = mx f(x) = mx + b A(x) = 3x A´(x) = 3 A(x) = bx A´(x) = b Se puede conjeturar que A(x) es una antiderivada de f(x).

6 Observación Sea f una función continua no negativa en [0, b] y A(x) el área de la región entre la gráfica de f y el eje X en [0, x] con x < b. Entonces, A´(x) = f(x) x Es decir, A(x) es antiderivada de f A(x) = F(x) + C

7 Definición A = A(b) – A(a)
El área de una región podrá plantearse por una integral definida: A = A(b) – A(a) Siempre que f sea continua en [a; b] y positiva en ese intervalo.

8 Hallar el área bajo la gráfica de en el intervalo
En este caso Calculamos una antiderivada de Se reemplaza los valores de a y b en F(x) y luego restamos dichos valores

9 Calcular el área bajo la curva y=2x en

10 Definición Si la función f(x) es continua en el intervalo a ≤ x ≤ b, entonces donde F(x) es cualquier antiderivada de f(x)

11 Ejercicios Calcular

12 Ejercicio 1 Halle el área de la región R acotada por la gráfica de y el eje X. Solución:

13 Área entre dos curvas Sean las gráficas de f y g tales que f(x) > g(x) en un intervalo [a; b]. El área de la región limitada por las gráficas de f y g y por las verticales x = a y x = b será... a b

14 Ejercicio 2 Halle el área de la región acotada por y el eje X.
Solución:

15 Ejercicio 3: Halle el área de la región acotada por las curvas y Solución:

16 Ejercicio 4: Halle el área de la región acotada por la recta y la curva Solución:

17 Ejercicio 5: Halle el área de la región acotada por y = x3 - 3x2 y por y = x2 + 5x Solución: