Unidad II: Variables Aleatorias Concepto Discreta y Continua Fun. de densidad Fun. de probabilidad F. de distribución Esperanza y Varianza Propiedades.

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1 Unidad II: Variables Aleatorias Concepto Discreta y Continua Fun. de densidad Fun. de probabilidad F. de distribución Esperanza y Varianza Propiedades

2 El resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numérica. En estos casos aparece la noción de variable aleatoria 2.1 Concepto de Variable aleatoria Función que asigna a cada elemento del espacio muestral un número

3 2.1 Variable Aleatoria: Notación - Las letras mayúsculas ( X, Y, Z, etc) representarán a las variables aleatorias. - La letra griega ω representará un elemento genérico del espacio muestral. - X (ω) será la representación funcional de la variable aleatoria X. - Las letras minúsculas ( x, y, z, etc) representarán valores particulares en el recorrido de la variable.

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9 X = Número de caras que aparecen al lanzar dos monedas V. A. DISCRETA

10 Función de probabilidad (V. A. Discretas) Asigna a cada posible valor de una v.a.d. su probabilidad. Recuerda los conceptos de frecuencia relativa y diagrama de barras. Ejemplo X = Número de caras al lanzar 3 monedas.

11 ? X = Número de ampolletas seleccionadas azules X = 0X = 1X = 2 x 012 P ( X = x ) 3/2815/2810/28

12 Función de densidad (V. A. Continuas) Es una función no negativa de integral 1 Piénsalo como la generalización del histograma con frecuencias relativas para variables continuas. ¿Para qué lo voy a usar? - Nunca lo vas a usar directamente. - Sus valores no representan probabilidades.

13 ¿Para qué sirve la f. densidad? Muchos procesos aleatorios vienen descritos por variables de forma que son conocidas las probabilidades en intervalos. La integral definida de la función de densidad en dichos intervalos coincide con la probabilidad de los mismos. Es decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el área bajo la función de densidad.

14 Una variable aleatoria X es continua si su recorrido es un intervalo de la recta real. 2.3 Variables Aleatorias Continuas Función de Densidad de probabilidad: f ( x )

15 Ejemplo X= concentración diaria del contaminante por cada 10 3 litros Y la probabilidad que ocurra el problema de polución es:

16 Ejemplo Claramente H ( x ) satisface las condiciones (1) – (4), por lo tanto H corresponde a la función de distribución acumulada de alguna variable aleatoria X.

17 Siendo el gráfico de la función el siguiente:

18 Cambio de variable

19 Esperanza y varianza de una variable aleatoria Def. de Esperanza: la esperanza matemática es una generalización del concepto de media aritmética. Dada una muestra de n valores observados de un variable X, con sus respectivas frecuencias: La media muestral es: Frec. relativa

20 Por tanto, la frecuencia relativa se puede considerar como la probabilidad que tiene el valor xi de presentarse en la muestra total de tamaño n. Luego, Esta forma de expresar la media de la muestra, sugiere la definición de Esperanza en el caso discreto

21 Significado de la esperanza: 1.Como valor medio teórico de todos los valores que puede tomar la variable. Representa una medida de centralización. 2. Como centro de gravedad de los puntos que corresponden a los valores de la variable, asignándoles una cantidad de masa proporcional a la función de densidad en cada punto. 3.Si la v.a. es la ganancia o pérdida en un determinado juego al azar, la esperanza representa la ganancia por jugada. Un juego es equitativo si su esperanza es cero.

22 1.La esperanza es lineal, es decir: cualesquiera sean las v.a. X e Y: E [X+Y] = E [x] + E [Y] E[aX+b] = a E [x] + b, a y b constantes 2. Si las v.a. X e Y son independientes, E [XY] = E [x] E [Y] 3. La esperanza está influenciada por los valores extremos de la variable debido a su interpretación como centro de gravedad de una masa lineal. Propiedades de la Esperanza

23 4. Si Y = g(X) es una variable obtenida a partir de X mediante una función continua g, la esperanza de la nueva variable Y, se obtiene utilizando la fórmula:

24 5. Si X e Y son dos v.a. con distribución bivariante continua de f.d.p. f(x,y), y h(x,y), es una función continua, la Esperanza matemática de Z = h(X, Y) es:

25 Definición de varianza La varianza mide la dispersión media de los valores de una variable respecto de su valor medio. En el caso de una muestra de tamaño n la dispersión de un valor respecto de su centro se puede medir por y la media aritmética de esta dispersión: Se llama varianza de la muestra o varianza muestral. Su generalización para una v.a es:

26 Definición: Si X es una v.a. con esperanza finita E[X], se llama Varianza de X, a la esperanza de la nueva variable suponiendo que existe

27 La Desviación típica o estándar de una variable aleatoria X, es la raíz cuadrada positiva de la varianza y se define como: Propiedades Sea X una variable aleatoria con media μ y varianza σ 2. Entonces:

28 Teorema: Sea X una variable aleatoria y g(X) una función no negativa de X con dominio en R. Entonces: Teorema: (Desigualdad de Chebyshev). Sea X una variable aleatoria con esperanza y varianza finitas, se verifica

29 Funciones de una Variable Aleatoria Teorema Sea X una variable aleatoria discreta con recorrido R X y función de probabilidades p x (x). Sea Y=H(X) una transformación uno a uno sobre X, con inversa X=H -1 (Y) en el recorrido de Y, R Y. Entonces la función de probabilidad de Y, p y (y), está dada por: Teorema Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f x (x) y Sea H(X) una función monótona, continua y diferenciable. Si Y=H(X), entonces su función de distribución está dada por: y la función de densidad de Y es:

30 Ejemplo Sea X una variable aleatoria con función de distribución F X ( t ) y función de densidad f X ( t ). Sea Y = a + bX, b >0, entonces como Y es una función monótona creciente de la variable X tenemos, de acuerdo al teorema anterior, que la función de distribución acumulada y la función de densidad de Y son respectivamente: En este caso se tiene de inmediato que la media y la varianza de Y están dadas por

31 Ejemplo Consideremos la variable aleatoria X, cuya función de distribución está dada por La forma estándar de X se define por la transformación Z = ( X -  )/ . De acuerdo al ejemplo anterior, la función de distribución de Z está dada por Así, …

32 … Realizando los cálculos, tenemos que  = 1/2 y  = 1/2, entonces Finalmente, como Z = -  /  + X / , entonces Así, la forma estándar de una variable aleatoria siempre tendrá media cero y varianza unitaria.

33 Ejemplo Sea X una variable aleatoria continua con función de distribución F X (·), tal que F X ( t ) = 0, para todo t ≤ 0. Si Y = X 1/2, entonces y Notemos que, aparte de ser X una variable aleatoria continua, ella debe ser positiva, tal que su raíz cuadrada sea real; de lo contrario el resultado no es válido.

34 Ejemplo Consideremos la variable aleatoria X que tiene función de densidad f X ( x ) = 2(1 – x ), 0 < x < 1, y determinemos la función de densidad Y = e X. H(x) = e x una función monótona de x, cuya función inversa es x = lny = H-1(y). Entonces una aplicación directa del Teorema nos conduce a la función de densidad de Y

35 Ejemplo Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f ( x )=1/2, -1< x <1. Determinemos la distribución de la nueva variable Y = X 2. Primero notemos que R X =(-1,1), entonces R Y =[0,1). Así inmediatamente sabemos que Ahora, para valores y tales que, 0 ≤ y ≤ 1 podemos razonar como sigue: …

36 … Por lo tanto, para 0 ≤ y ≤ 1 entonces derivando la función de distribución anterior obtenemos la función de densidad de Y como Esto es,

37 Ejemplo Sea X una variable con densidad f X ( x )=1/3 para -1 ≤ x ≤ 2 y función de distribución Determinemos la distribución de Y = X 2. Claramente, R Y =[0,4] por lo que F Y ( y )=0 para y 4. Ahora para y ϵ [0,4], analicemos los intervalos [0,1) y [1,4] por separado. Si 0 ≤ y < 1: …

38 … Para 1 ≤ y ≤ 4 Derivando la función de distribución, obtenemos la densidad de Y