El método de Newton – Raphson y el método de las secantes Tele clase 4 El método de Newton – Raphson y el método de las secantes

Dos tipos de métodos numéricos Bisección De intervalos Regula Falsi Métodos iterativos Iterativo general De puntos Newton - Raphson Secantes

Método iterativo general f(x) = 0 x = g(x) Proceso iterativo: x0: Conocido n = 1, 2, 3,...

Teorema Si g es continua y la sucesión x0, x1, x2,... generada por la ecuación recursiva posee un límite finito entonces es solución de la ecuación x = g(x)

Demostración: es solución de x = g(x)

Ejemplo Resolver la ecuación: 2cos3t e2t t0 = 0,2

Ejemplo e2t t0 = 0,2 n > 0

Ejemplo n tn n tn 0 0,2 19 0,2248 1 0,2430 20 0,2233 2 0,2073 e2t 21 0,2246 3 0,2375 22 0,2235 4 0,2123 23 0,2244 5 0,2335 24 0,2237 6 0,2158 7 0,2307 tn  0,2239967313

Ejemplo e2t t0 = 0,2 n > 0

Teorema Sea r raíz de la ecuación x = g(x). Sea I un entorno de r en el cual g y g’ son continuas y se cumple que, para alguna constante K < 1 entonces, la sucesión generada por el proceso x0I; xn = g(xn-1) para n = 1, 2, 3,... converge hacia r

Ejemplo e2t

El método de Newton - Raphson f(x) = 0 x = x + Af(x) g(x) = x + Af(x)

El método de Newton - Raphson f(x) = 0 ?

Interpretación geométrica y = 0 y = f(x) f(xn-1) xn r xn-1

Posibles problemas x y y = f(x) xn-1 r División por cero al hallar xn

Posibles problemas y y = f(x) xn-1 r x xn Función f no definida en xn

Posibles problemas y y = f(x) Q r x P Lazo infinito en el proceso

Posibles problemas x y y = f(x) r x1 x0

Posibles problemas x y y = f(x) x0 r x1¿? ¿Cómo seleccionar x0?

Teorema Sea r la única raíz de f(x) = 0 en [a, b]. Sean f’(x) y f “(x) continuas y no nulas en [a, b]. Sea x0 un elemento de [a, b] tal que f(x0)f “(x0) > 0. Entonces, si n = 1, 2,... se cumple que

Geométricamente x y f “(x) > 0 r x y f “(x) > 0 r x0 x0 x y f “(x) < 0 r x y f “(x) < 0 r x0 x0

Ejemplo El radio de la esfera B es un cm mayor que el de la esfera A, pero su volumen es el doble. Hallar el radio de cada esfera. B A Radio: x cm

Ejemplo Posee una raíz positiva y se encuentra en [0, 4]

Gráfica de f(x) en [-2,73; 4]

Ejemplo Posee una raíz positiva y se encuentra en [0, 4] Tomaremos: x0 = 4

Ejemplo n 4 1 3,857143 2 3,847367 3 3,847322 4 3,847322

Respuesta El radio de la esfera B es un cm mayor que el de la esfera A, pero su volumen es el doble. Hallar el radio de cada esfera. B A Radio: 3,847 cm Radio: 4,847 cm

Rapidez de la convergencia

Rapidez de la convergencia xn

Rapidez de la convergencia

Rapidez de la convergencia M: Cota superior de en [a, b] d: Cota inferior de en [a, b]

Comparación con otros métodos Bisección: Regula Falsi: Convergencia lineal Newton – Raphson: Convergencia cuadrática

Cota del error

Cota del error

Cota del error

Cota del error Si entonces

Algoritmo xanterior := x0 repeat xanterior := x until Error <  La raíz es x y su error absoluto es menor que Error Terminar

En MN2000

En MN2000

En MN2000

En MN2000

En MN2000

El método de las secantes y = f(x) r x2 x1 x0 Método de las tangentes

El método de las secantes y = f(x) r Método de las secantes x2 x1 x0

El método de las secantes

Condiciones de convergencia Sea r la única raíz de f(x) = 0 en [a, b]. Sean f’(x) y f “(x) continuas y no nulas en [a, b]. Sean x0 y x1 elementos de [a, b] tales que E(x0)  <1 y E(x1)  <1 con Entonces,

Rapidez de convergencia Newton - Raphson Método de las secantes Método de

Cota del error

Algoritmo xa := x0; ya := f(x0) xb := x1; yb := f(x1) repeat yc := f(xc) xa := xb; ya := yb xb := xc; yb := yc until Error < 

Algoritmo until Error <  La raíz es xc y su error absoluto es menor que Error Terminar

Ejemplo Hallar, con cinco cifras decimales exactas, la raíz de la ecuación que se encuentra en [0, 4]

Gráfica de f(x) en [-2,73; 4]

Ejemplo Hallar, con cinco cifras decimales exactas, la raíz de la ecuación que se encuentra en [0, 4] Tomaremos: x0 = 4 y x1 = 3,5

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

MN2000

Respuesta x = 3,847 322 10 Solución: Error absoluto menor que: 0,000 000 14

Comparación El método de las secantes no requiere calcular f ‘(x). El método de las secantes requiere por lo general una o dos iteraciones más que Newton – Raphson. El método de las secantes requiere evaluar una sola vez en cada iteracion.

Comparación El método de Newton – Raphson se puede extender en varios sentidos: Sistemas de n ecuaciones con n incógnitas, cálculo de raíces imaginarias, etcétera.

Bibliografía Texto: Secciones 2.5 y 2.6

Ejercicios recomendados Sección 2.5: 1, 2, 3, 5 y 12 Sección 2.6: 1, 2, 3, 4 y 10