Propagación de los errores

Presentación del tema: "Propagación de los errores"— Transcripción de la presentación:

1 Propagación de los errores
Tele clase 2 Propagación de los errores

2 Los números en la computadora
Un número n bits 2n posibilidades Los conjuntos numéricos que utiliza cualquier computadora son finitos y, por lo tanto, acotados.

3 Representación de enteros
Cantidad de bits por número Rango de valores 8 0 a 255 - 128 a 127 0 a 16 a 32 0 a a

4 Representación de reales
x = m2 k q bits n bits Los números reales que se pueden representar son siempre racionales. Qc

5 Representación de reales
x = m2 k q bits n bits 2n números entre 2 y 4 entre 4 y 8 entre 8 y 16 entre 1024 y 2048

6 Representación de reales
x = m2 k q bits n bits Están mas densamente distribuidos a medida que se acercan a cero.

7 Distribución de Qc - Qmin - Qmax Qmin Qc R Qmax

8 Operaciones en Qc Debido al carácter discreto de Qc Es necesario realizar frecuentes redondeos La suma y el producto no son exactamente asociativos El producto no es exactamente distributivo respecto a la suma

9 Propagación del error R* = f(x*, y*) R = f(x, y) Incremento error(R) = R* – R error(R) = f(x*, y*) – f(x, y)  fx(x*, y*)(x* - x) + fy(x*, y*)(y* - y) error(x) error(y) Diferencial

10 Propagación del error error(R) = fx(x*, y*)error(x)+ fy(x*, y*)error(y) = fx(x, y)error(x)+ fy(x, y)error(y)

11 Fórmula general de propagación
R = f(x, y) Si entonces

12 Propagación del error en sumas
R = f(x, y) Si entonces R = x + y Si entonces

13 Ejemplo Se necesita colocar una resistencia de 100 k en un circuito. Como se terminaron las de ese valor, se colocarán en serie una de 47 k, otra de 33 k y otra de 20 k. Si la primera tiene un error relativo de 5% y las otras dos del 1%, halle entre qué valores se encontrará la resistencia total.

14 Ejemplo S = a + b + c a = 47  5% b = 33  1% c = 20  1% Em(a) = a em(a) = 470,05 = 2,35 Em(b) = b em(b) = 330,01 = 0,33 Em(c) = c em(c) = 200,01 = 0,20 Em(S) = Em(a) + Em(b) + Em(c) Em(S) = 2,68 k 97,3  S  102,7

15 Propagación del error en productos
R = f(x, y) Si entonces R = xy Si entonces

16 Propagación del error en productos
Si k es exacto:

17 Propagación del error en cocientes
R = f(x, y) Si entonces R = x/y Si entonces

18 Propagación del error en cocientes

19 En resumen

20 Ejemplo Se requiere calcular el valor de a partir de los valores aproximados x = 6,78; y = 2,64; z = 4,83 todos con sus cifras exactas. Halle el error absoluto máximo de w e indique sus cifras exactas.

21 Solución Valor E. Absoluto E. Relativo x = 6,78 0,005 0,00074 y = 2,64 0,005 0,0019 xy = 17,899 0,0049 0,0027 z = 4,83 0,005 xy + z = 22,729 0,0099 0,00044 x – y = 4,14 0,01 0,00025 w = 5,490 0,0038 0,00069

22 Respuesta = 5,490 Em(w) = 0,0038 w posee dos cifras decimales exactas

23 Problema estable Es aquel en el cual, pequeños cambios en los datos producen pequeños cambios en los resultados

24 Problema inestable Es aquel en el cual, pequeños cambios en los datos pueden causar grandes cambios en los resultados

25 Ejemplo P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3) ... (x -10) = = x10 – 55 x x8 – x7 + 157773x6 – x x4 x x2 – x

26 Ejemplo Q(x) = 55,001 = x10 – 55 x x8 – x7 + 157773x6 – x x4 x x2 – x

27 Gráfica de P(x)

28 Gráfica de Q(x)

29 Pérdida de significación
d = x – y Em(d) = Em(x) + Em(y) Si x  y se produce pérdida de significación

30 Ejemplo Se conocen los datos: x = 6,23584 y = 6,23552 con error relativo máximo de 0,1 % Halle el error relativo máximo de z = x – y

31 Solución x = 6,23584 y = 6,23552 Em(x) = 0,0063 Em(y) = 0,0063 z = x – y = 0,00032 Em(z) = 0,013 = 41 = 4100 %

32 Métodos inestables A veces un problema estable se se sustituye por otro problema equivalente que resulta inestable. En ese caso se dice que el método es inestable.

33 Ejemplo Método inestable d = d1 - d2 d1 d d2

34 Bibliografía Texto: Secciones 1.5, 1.6, 1.7

35 Ejercicios recomendados
Sección 1.5: 2, 3 y 7 Sección 1.3: 4, 6, 11 y 12 Sección 1.4: 1, 2, 4 y 5