Tele clase 12 Integración numérica, métodos de Gauss y de Romberg.

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1 Tele clase 12 Integración numérica, métodos de Gauss y de Romberg

2 Los métodos anteriores
Trapecios

3 Los métodos anteriores
Trapecios Simpson

4 En general donde los xi están distribuidos uniformemente en el intervalo [a, b] y los Ci toman valores adecuados para que la fórmula posea un error pequeño.

5 En general Trapecios Ci: h, h,..., h, Simpson Ci:

6 El método de Gauss donde tanto los Ai como los xi se determinen con el objetivo de disminuir el error de la fórmula.

7 El método de Gauss donde tanto los Ai como los ti se determinen con el objetivo de que la fórmula sea exacta para polinomios del mayor grado posible.

8 El método de Gauss A1, A2,..., Am 2m parámetros t1, t2,..., tm

9 El método de Gauss A1, A2,..., Am 2m parámetros t1, t2,..., tm El espacio vectorial de los polinomios de grado  2m-1 tiene dimensión 2m

10 El método de Gauss A1, A2,..., Am 2m parámetros t1, t2,..., tm El espacio vectorial de los polinomios de grado  2m-1 tiene dimensión 2m

11 El método de Gauss Si es exacta para todos los elementos de una base de P2m-1 entonces será exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que 2m-1

12 El método de Gauss para m = 3
Si es exacta para todos los elementos de una base de P5 entonces será exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que 5

13 Una base inconveniente para P5
Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 }

14 Una base inconveniente para P5
Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 }

15 Una base inconveniente para P5
Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = 1

16 Una base inconveniente para P5
Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = 1 1

17 Una base inconveniente para P5
Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t

18 Una base inconveniente para P5
Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t 2

19 Una base inconveniente para P5
Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t2

20 Una base inconveniente para P5
Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t2 3

21 Una base inconveniente para P5
Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t3

22 Una base inconveniente para P5
Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t3 4

23 Una base inconveniente para P5
Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t4

24 Una base inconveniente para P5
Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t4 5

25 Una base inconveniente para P5
Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t5

26 Una base inconveniente para P5
Base canónica de P5 {1, t, t2, t3, t4, t5 } f(t) = t5 6

27 Una base inconveniente para P5

28 Los polinomios de Legendre

29 Los polinomios de Legendre

30 Los polinomios de Legendre

31 Los polinomios de Legendre

32 Los polinomios de Legendre

33 Los polinomios de Legendre

34 Dos propiedades

35 Dos propiedades Los n ceros del polinomio de Legendre de grado n son reales y distintos y están en [-1, 1]

36 Dos propiedades Los n ceros del polinomio de Legendre de grado n son reales y distintos y están en [-1, 1] Si q es cualquier entero no negativo menor que n, se cumple que

37 Una base conveniente para P5
{1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)}

38 Una base conveniente para P5
{1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = 1

39 Una base conveniente para P5
{1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = 1 1

40 Una base conveniente para P5
{1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = t

41 Una base conveniente para P5
{1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = t 2

42 Una base conveniente para P5
{1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = t2

43 Una base conveniente para P5
{1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = t2 3

44 Una base conveniente para P5
{1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = p3(t)

45 Una base conveniente para P5
{1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = p3(t) 4

46 Una base conveniente para P5
{1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = t p3(t)

47 Una base conveniente para P5
{1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = t p3(t) 5

48 Una base conveniente para P5
{1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = t2 p3(t)

49 Una base conveniente para P5
{1, t, t2, p3(t), t p3(t), t2 p3(t)} f(t) = t2 p3(t) 6

50 Una base conveniente para P5

51 Una base conveniente para P5
t1, t2, t3: ceros de p3(t)

52 Una base conveniente para P5
t1, t2, t3: ceros de p3(t)

53 Una base conveniente para P5
t1, t2, t3: ceros de p3(t)

54 Una base conveniente para P5
t1, t2, t3: ceros de p3(t) t1= - 0,774597 t2= 0 t3= 0,774597

55 Una base conveniente para P5
t1, t2, t3: ceros de p3(t) t1= - 0,774597 A1= 0, t2= 0 A2= 0, t3= 0,774597 A3= 0,

56 El método de Gauss para m = 3

57 El método de Gauss para m = 3
Es exacta para polinomios de grado menor o igual que 5 t1= - 0,774597 A3= 0, t2= 0 A2= 0, t3= 0,774597 A3= 0,

58 El método de Gauss t1, t2,..., tm: Ceros del polinomio de Legendre pn

59 El método de Gauss A1, A2,..., Am: Solución del sistema lineal: i = 1, 2,..., m

60 El método de Gauss Exacta en P2m-1 A1, A2,..., Am: Solución del sistema lineal: i = 1, 2,..., m

61 El método de Gauss en [a, b]

62 El método de Gauss en [a, b]

63 El método de Gauss en [a, b]

64 El método de Gauss en [a, b]
t = -1  x = a t = 1  x = b

65 El método de Gauss en [a, b]
t = -1  x = a t = 1  x = b

66 El método de Gauss en [a, b]

67 El método de Gauss en [a, b]

68 El método de Gauss en [a, b]

69 El método de Gauss en [a, b]
i = 1, 2, ..., m

70 Ejemplo Calcule aproximadamente: mediante el método de Gauss de tres puntos.

71 Solución t1= - 0,774597 t2= 0 t3= 0,774597

72 Solución t1= - 0,774597 t2= 0 t3= 0,774597

73 Solución t1= - 0,774597 t2= 0 t3= 0,774597

74 Solución t1= - 0,774597 t2= 0 t3= 0,774597

75 Solución t1= - 0,774597 x1= 0, t2= 0 t3= 0,774597

76 Solución t1= - 0,774597 x1= 0, t2= 0 x2= 0,5 t3= 0,774597

77 Solución t1= - 0,774597 x1= 0, t2= 0 x2= 0,5 t3= 0,774597 x3= 0,

78 Solución x1= 0, x2= 0,5 x3= 0,

79 Solución x1= 0, A3= 0, x2= 0,5 A2= 0, x3= 0, A3= 0,

80 Solución x1= 0, A3= 0, x2= 0,5 A2= 0, x3= 0, A3= 0,

81 Solución

82 Solución

83 Solución =

84 Solución = Resultado exacto:

85 Algoritmo Se quiere calcular: Por el método de Gauss de m puntos.

86 Algoritmo Se quiere calcular: Por el método de Gauss de m puntos. Datos: f(x), a, b, m, ti, Ai, i = 1,2,...,m

87 Algoritmo

88 Algoritmo Suma := 0

89 Algoritmo Suma := 0 for i = 1 to m

90 Algoritmo Suma := 0 for i = 1 to m

91 Algoritmo Suma := 0 for i = 1 to m Suma := Suma + Aif(xi)

92 Algoritmo Suma := 0 for i = 1 to m Suma := Suma + Aif(xi) end

93 Algoritmo Suma := 0 for i = 1 to m Suma := Suma + Aif(xi) end Integral := Suma(b-a)/2

94 Algoritmo Suma := 0 for i = 1 to m Suma := Suma + Aif(xi) end Integral := Suma(b-a)/2 El resultado es Integral

95 Algoritmo Suma := 0 for i = 1 to m Suma := Suma + Aif(xi) end Integral := Suma(b-a)/2 El resultado es Integral Terminar

96 En MN2000

97 En MN2000

98 En MN2000

99 En MN2000

100 El error en el método de Gauss

101 El error en el método de Gauss

102 El error en el método de Gauss
I1: Resultado de calcular la integral con Gauss, m puntos.

103 El error en el método de Gauss
I1: Resultado de calcular la integral con Gauss, m puntos.

104 El error en el método de Gauss
I1: Resultado de calcular la integral con Gauss, m puntos. I2: Resultado de calcular las dos integrales con Gauss, m puntos.

105 El error en el método de Gauss
Error en I2

106 El error en el método de Gauss
Error en I2

107 Ejemplo Calcule con 6 cifras decimales exactas: mediante el método de Gauss de tres puntos.

108 Solución Intervalo [0, 1]: I1 = 2,

109 Solución Intervalo [0, 1]: I1 = 2, Intervalo [0; 0,5]: 1, Intervalo [0,5; 1]: 1,

110 Solución Intervalo [0, 1]: I1 = 2, Intervalo [0; 0,5]: 1, Intervalo [0,5; 1]: 1, Suma: I2 = 2,

111 Solución Intervalo [0, 1]: I1 = 2, Intervalo [0; 0,5]: 1, Intervalo [0,5; 1]: 1, Suma: I2 = 2,

112 Solución Intervalo [0, 1]: I1 = 2, Intervalo [0; 0,5]: 1, Intervalo [0,5; 1]: 1, Suma: I2 = 2, = - 0,

113 Solución Intervalo [0, 1]: I1 = 2, Intervalo [0; 0,5]: 1, Intervalo [0,5; 1]: 1, Suma: I2 = 2, = - 0, R2 = - 0,

114 Respuesta = 2, con 6 cifras decimales exactas.

115 El método de Romberg

116 El método de Romberg = Ih + Rh

117 El método de Romberg = Ih + Rh Rh  Chp

118 El método de Romberg = Ih + Rh Rh  Chp Ih: Calculando con paso h

119 El método de Romberg = Ih + Rh Rh  Chp Ih: Calculando con paso h I2h: Calculando con paso 2h

120 El método de Romberg = Ih + Rh Rh  Chp Ih: Calculando con paso h I2h: Calculando con paso 2h

121 Fórmula de Richardson = Ih + Rh

122 Fórmula de Richardson = Ih + Rh

123 Fórmula de Richardson = Ih + Rh

124 Fórmula de Richardson = Ih + Rh

125 Fórmula de Richardson = Ih + Rh Error de orden p + 2

126 El método de Romberg Rh  Chp

127 El método de Romberg Rh  Chp Calculando por trapecios con n pequeño

128 El método de Romberg Rh  Chp Calculando por trapecios con n pequeño Calculando por trapecios con 2n intervalos

129 El método de Romberg Rh  Chp Calculando por trapecios con n pequeño Calculando por trapecios con 2n intervalos Calculando por trapecios con 4n intervalos

130 La fórmula de Richardson
Rh  Chp Calculando por trapecios con n pequeño Calculando por trapecios con 2kn intervalos

131 La fórmula de Richardson
Calculando por trapecios con 2kn intervalos

132 La fórmula de Richardson
Calculando por trapecios con 2kn intervalos

133 La fórmula de Richardson
p n 2n 4n 8n 16n

134 La fórmula de Richardson
p n 2n 4n 8n 16n

135 La fórmula de Richardson
p p+2 n 2n 4n 8n 16n

136 La fórmula de Richardson
p p+2 n 2n 4n 8n 16n

137 La fórmula de Richardson
p p+2 n 2n 4n 8n 16n

138 La fórmula de Richardson
p p+2 n 2n 4n 8n 16n

139 La fórmula de Richardson
p p+2 n 2n 4n 8n 16n

140 La fórmula de Richardson
p p+2 p+4 n 2n 4n 8n 16n

141 La fórmula de Richardson
p p+2 p+4 n 2n 4n 8n 16n

142 La fórmula de Richardson
p p+2 p+4 n 2n 4n 8n 16n

143 La fórmula de Richardson
p p+2 p+4 n 2n 4n 8n 16n

144 La fórmula de Richardson

145 La fórmula de Richardson
p = 2

146 La fórmula de Richardson
p = 2

147 La fórmula de Richardson
p = 2

148 El método de Romberg Trap. Richardson

149 El método de Romberg Trap. Richardson n

150 El método de Romberg Trap. Richardson n 2n

151 El método de Romberg Trap. Richardson n 2n 4n

152 El método de Romberg Trap. Richardson n 2n 4n 8n

153 El método de Romberg Trap. Richardson n 2n 4n 8n 16n

154 Ejemplo Calcule con 6 cifras decimales exactas: mediante el método de Romberg

155 Solución

156 Solución Trapecios, n = 4: =

157 Solución Trapecios, n = 4: = Trapecios, n = 8: =

158 Solución Trapecios, n = 4: = Trapecios, n = 8: = =

159 Solución Trapecios, n = 4: = Trapecios, n = 8: = = Error:

160 Solución Trapecios, n = 4: = Trapecios, n = 8: = = Error: = 0,0039

161 Solución Trapecios, n = 16: =

162 Solución Trapecios, n = 16: = =

163 Solución Trapecios, n = 16: = = =

164 Solución Trapecios, n = 16: = = = Error:

165 Solución Trapecios, n = 16: = = = Error: = 0,

166 Solución Trapecios, n = 32: =

167 Solución Trapecios, n = 32: = =

168 Solución Trapecios, n = 32: = = =

169 Solución Trapecios, n = 32: = = = =

170 Solución Trapecios, n = 32: = = = = Error:

171 Solución Trapecios, n = 32: = = = = Error: = 0,

172 Algoritmo Se quiere calcular: Por el método de Romberg con error menor que 

173 Algoritmo Se quiere calcular: Por el método de Romberg con error menor que  Datos: f(x), a, b, n, ,

174 Algoritmo Se quiere calcular: Por el método de Romberg con error menor que  Datos: f(x), a, b, n, , Trapecios como algoritmo auxiliar

175 Algoritmo

176 Algoritmo := Trapecios(f(x), a, b, n)

177 Algoritmo := Trapecios(f(x), a, b, n) k := 0

178 Algoritmo := Trapecios(f(x), a, b, n) k := 0 repeat

179 Algoritmo := Trapecios(f(x), a, b, n) k := 0 repeat n := 2n

180 Algoritmo := Trapecios(f(x), a, b, n) k := 0 repeat n := 2n k := k + 1

181 Algoritmo := Trapecios(f(x), a, b, n) k := 0 repeat n := 2n k := k + 1 := Trapecios(f(x), a, b, n)

182 Algoritmo := Trapecios(f(x), a, b, n) k := 0 repeat n := 2n k := k + 1 := Trapecios(f(x), a, b, n) for m = 1 to k

183 Algoritmo := Trapecios(f(x), a, b, n) k := 0 repeat n := 2n k := k + 1 := Trapecios(f(x), a, b, n) for m = 1 to k

184 Algoritmo for m = 1 to k

185 Algoritmo for m = 1 to k

186 Algoritmo for m = 1 to k end

187 Algoritmo for m = 1 to k end Error :=

188 Algoritmo for m = 1 to k end Error := until Error < 

189 Algoritmo for m = 1 to k end Error := until Error <  El resultado es Terminar

190 En MN2000

191 En MN2000

192 En MN2000

193 En MN2000

194 En MN2000

195 Comparación = 2,

196 Comparación = 2, n Trapecios Simpson Romberg 4 8 16 32

197 Comparación = 2,17844513 n Trapecios Simpson Romberg 4 8 16 32
2, 8 2, 16 2, 32 2,

198 Comparación = 2,17844513 n Trapecios Simpson Romberg 4 8 16 32
2, 2, 8 2, 2, 16 2, 2, 32 2, 2,

199 Comparación = 2,17844513 n Trapecios Simpson Romberg 4 8 16 32
2, 2, 2, 8 2, 2, 2, 16 2, 2, 2, 32 2, 2, 2,

200 Comparación = 2,17844513 n Trapecios Simpson Romberg 4 8 16 32
2, 2, 2, 8 2, 2, 2, 16 2, 2, 2, 32 2, 2, 2, Gauss, 6 puntos: 2,

201 Bibliografía Texto: Secciones: 5.4 y 5.5

202 Ejercicios recomendados
Sección 5.4: 1, 2, 3, 4 Sección 5.5: 1, 2, 3, 8