Universidad de las Ciencias Informáticas

Presentación del tema: "Universidad de las Ciencias Informáticas"— Transcripción de la presentación:

1 Universidad de las Ciencias Informáticas
UCI Matemática Numérica

2 Problema Se desea encontrar las raíces de la ecuación:
Con 4 cifras decimales exactas.

3 Solución numérica de ecuaciones.

4 Sumario: 1.1 Introducción. 1.2 Separación de raíces.
1.3 Métodos numéricos de resolución de ecuaciones.

5 1.1 Introducción.

6 Problema General Hallar las raíces reales de la ecuación que se encuentran en un intervalo I. 2 Calcular raíces 1 Separar raíces

7 1.2 Separación de raíces.

8 Separación Gráfica f(x1) = 0 f(x2) = 0 y x y = f(x) x1 x2

9 Separación Gráfica f(x1) = g(x1) y x y = g(x) y = f(x) x1

10 Ejemplo Separe las raíces de la ecuación:

11 Solución x y  2 y = 2 sen x 1 x1 x2

12 Para ecuaciones algebraicas
La ecuación algebraica de grado n: tiene exactamente n raíces complejas.

13 Regla de Descartes En la ecuación algebraica: el número de raíces reales positivas es menor o igual que m y tiene su misma paridad.

14 Regla de Descartes Donde m es la cantidad de cambios de signo en la sucesión de los coeficientes. m Cantidad de raíces positivas 5 1, 3 ó 5 4 0, 2 ó 4 3 1 ó 3 2 0 ó 2

15 Regla de Lagrange En la ecuación algebraica: todas las raíces positivas (si existen) son menores que:

16 Regla de Lagrange k: Posición del primer coeficiente negativo (ak).
B: Valor absoluto del coeficiente negativo de mayor valor absoluto.

17 Raíces negativas Ecuación original f(x)=0.
Se forma la ecuación f(-x)=0. Si r es una raíz positiva de f(-x)=0 entonces -r es una raíz negativa de la ecuación original.

18 Ejemplo Separe las raíces de la ecuación: Tiene tres raíces.
Al menos una raíz es real.

19 Solución Raíces positivas: una en [0,4] m = 1 una raíz

20 Raíces negativas: Cambiando x por –x:

21 Nuevo Problema Raíces positivas: 0 ó 2 en [0,2.73] m = 2 0 ó 2 raíces

22 Raíces negativas: La ecuación original tiene 0 ó 2 raíces negativas en

23 Gráfica en [-2.73;4]

24 En resumen La ecuación:
solo posee una raíz real y se encuentra en el intervalo [3.5;4]

25 1.3 Métodos numéricos de resolución de ecuaciones.

26 De intervalos De puntos
Dos tipos de métodos De intervalos Bisección. Regula - Falsi. Métodos iterativos De puntos Iterativo Gral. Newton – Raphson. Secantes.

27 Método de Bisección Hipótesis: En [a,b] la ecuación posee una raíz.
f(x) continua en [a,b]. f(a).f(b)<0.

28 Geométricamente y = f(x) a1 b1 y f(x1) x r x1

29 Geométicamente y = f(x) a2 b2 y x2 x f(x2)

30 Criterio de parada.

31 Algoritmo en seudocódigo.
Datos: f(x), a, b, e (tolerancia) repeat x := (a + b)/2 Error := (b - a)/2 if f(x) = 0 then x es raíz. FIN else if f(a) * f(x) < 0 then b := x else a := x until Error < e x es la raíz y Em(x) = Error. FIN

32 Método de Regula Falsi Hipótesis: A parte de las consideradas en Bisección. f´(x) y f´´(x) existen y no cambian de signo en [a,b].

33 x y y = f(x) a1 b1 x1 x1 r

34 x y a1 b1 x1

35 x y a2 x2 b2

36 x y a3 x3 b3

37 Fórmula de Regula Falsi.
Condición de parada.

38 Algoritmo en seudocódigo.
Datos: f(x), a, b, e (tolerancia) xa :=  repeat Error := |x – xa| if f(x) = 0 then x es raíz. FIN else if f(a) * f(x) < 0 then b := x

39 Algoritmo en seudocódigo.
else a := x xa := x until Error < e x es la raíz y Em(x) = Error. FIN

40 f(x) = 0 x = g(x) Proceso iterativo: x0: Conocido n = 1, 2, 3,...
Método de Iterativo General f(x) = 0 x = g(x) Proceso iterativo: x0: Conocido n = 1, 2, 3,...

41 Teorema (Punto Fijo) Sea r la raíz de la ecuación x=g(x)
Sea I un entorno de r en el cual g y g’ son continuas y se cumple que, para alguna constante K < 1.

42 Teorema (Punto Fijo) Entonces la sucesión generada por el proceso iterativo: converge hacia r. x0I; xn = g(xn-1) para n = 1, 2, 3,...

43 Método de Newton - Raphson
Haciendo transformaciones podemos obtener en el método iterativo general se obtiene:

44 Método de Newton - Raphson
Hipótesis f´(x) y f´´(x) continua y no nulas en [a,b]. El inicio de la iteración x0, es tal que f(x0).f´´(x0)>0.

45 y = f(x) f(xn-1) r xn-1

46 Condición de parada.

47 Algoritmo en seudocódigo.
xa:= x0 repeat Error := |x – xa| xa:= x until Error <  Terminar La raíz es x y su error absoluto es menor que Error.

48 Método de las secantes El método de las secantes es una variante para eliminar el proceso de derivación.

49 Método de las Secantes Hipótesis f´(x) y f´´(x) continua y no nulas en [a,b]. El inicio de la iteración x0 y x1 deben tomarse cerca de la raíz.

50 y = f(x) x0 x1 r x2

51 Condición de parada.

52 Algoritmo en seudocódigo.
xa := x0; ya := f(x0) xb := x1; yb := f(x1) repeat yc := f(xc) Error := |xc – xb| xa := xb; ya := yb xb := xc; yb := yc until Error < 

53 Algoritmo en seudocódigo.
until Error <  La raíz es xc y su error absoluto es menor que Error. Terminar

54 Bibliografía Álvarez Blanco, Manuel. Matemática Numérica. 2da Edición.
Capítulo 2. Sitio Web de la asignatura.