UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

Presentación del tema: "UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR"— Transcripción de la presentación:

1 UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
Análisis numérico SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN UNA VARIABLE RAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES “Si quieres cambiar el mundo, tienes que empezar por cambiarte a ti mismo.” -Sócrates Marzo de 2014.

2 RAÍCES REALES DE ECUACIONES NO LINEALES
Uno de los problemas básicos del análisis numérico es el llamado problema de búsqueda de raíces, que consiste en encontrar los valores de la variable x que satisfacen la ecuación 𝒇(𝒙)=𝟎. a una solución de este problema se le llama un CERO de 𝒇 o una raíz de 𝒇 𝒙 =𝟎, es decir, dada la ecuación 𝒇(𝒙)=𝟎, se debe encontrar un valor real 𝒓 tal que 𝒇(𝒓)=𝟎 y entonces se dice que 𝒓 es una raíz real de la ecuación. El numero 𝐫 𝝐 𝜴 se dice una solución de la ecuación si se verifica que 𝒇(𝒓) = 𝟎, es decir, si 𝑟 es una raíz de la función 𝑓. Podemos clasificar las ecuaciones de acuerdo al tipo de función que es f(x). A grandes rasgos se tiene 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔: 𝑳𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 𝑵𝒐 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔 𝑨𝒍𝒈𝒆𝒃𝒓𝒂𝒊𝒄𝒂𝒔 𝑹𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔 𝑰𝒓𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔 𝑻𝒓𝒂𝒔𝒄𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 Una ecuación lineal en la variable 𝒙 es una ecuación que puede escribirse en la forma 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 , donde 𝒂 𝒚 𝒃 son constantes que generalmente llamamos parámetros y 𝒂 ≠ 𝟎.

3 Geométricamente, una raíz de una función representa un punto donde la gráfica de f(x) cruza al eje x. En esta gráfica, vemos que la raíz es 1 Las raíces de 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 −𝟗; son 𝒙=𝟑 𝒚 𝒙=−𝟑. La función 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟒 + 𝒙 𝟐 +𝟏; no tiene raíces. La función 𝒇 𝒙 =𝟓−𝒔𝒆𝒏(𝒙); no tiene raíces. Las raíces de 𝒇 𝒙 = 𝒙+𝟏 𝒙−𝟑 𝒙+𝟕 ; son 𝒙=−𝟏;𝒙=𝟑 𝒚 𝒙=−𝟕.

4 ALGUNOS EJEMPLOS DE ECUACIONES NO LINEALES:
Ecuación algebraica racional: 𝟗𝒙 𝟑𝒙−𝟏 =𝟐+ 𝟑 𝟑𝒙−𝟑 Ecuación algebraica irracional, la variable x está sometida a la operación radicación 𝒙 𝟐,𝟏−𝟎,𝟓𝒙 𝟏−𝒙 𝟏,𝟏−𝟎,𝟓𝒙 −𝟑,𝟔𝟗=𝟎: 𝟎<𝒙<𝟏 Ecuación trascendente, incluye funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y otras menos familiares: 𝐭𝐚𝐧𝐠 𝒙 =𝒕𝒂𝒏𝒈𝒉(𝟐𝒙) SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES POR MÉTODOS COMPUTACIONALES. La razón principal para resolver ecuaciones no lineales por medio de métodos computacionales radica en la dificultad de encontrar una solución por métodos convencionales. Por su parte, excepto para muy pocos problemas, la solución analítica de las ecuaciones polinomiales existe sólo hasta el orden cuatro, pero no existen métodos generales para arribar a las soluciones en forma exacta para órdenes superiores. Por lo tanto, las raíces de esas ecuaciones no lineales se obtienen mediante los métodos del análisis numérico. Los métodos usuales para la obtención de una aproximación numérica a una solución o raíz de 𝒇(𝒙)=𝟎 consisten en procesos iterativos en los que se parte de un valor inicial 𝒙 𝟎 de la raíz buscada r y, se usa cierta relación de recurrencia para generar una secuencia de aproximaciones sucesivas 𝒙𝟏, 𝒙𝟐,…, 𝒙𝒏,… que convergen al límite 𝒙𝒏, generalmente por métodos analíticos, muchas veces con ayuda de gráficos.

5 Se dividen en dos categorías generales:
El problema se plantea de la siguiente manera: Dada 𝒇:𝕽→𝕽, (𝒐 𝒃𝒊𝒆𝒏 𝒇: 𝒂,𝒃 →𝕽) se quiere encontrar r tal que 𝒇 𝒓 =𝟎: MÉTODOS NUMÉRICOS Se dividen en dos categorías generales: Métodos que usan intervalos: bisección, Regula Falsi. Requieren un intervalo de x que contenga a la raíz, siempre son convergentes, pero la velocidad de convergencia es demasiado lenta. Métodos abiertos: iteración de punto fijo, Newton, secante: Requieren información únicamente de un punto, o de dos pero que no necesariamente encierran a la raíz, para extrapolar una nueva aproximación a la raíz. La convergencia es más rápida pero existe también la posibilidad de divergencia. Ejemplo: Supongamos que la oscilación de una estructura, dotada de un sistema de amortiguación, ante un movimiento oscilatorio, viene dada por la función: 𝒚 𝒕 =𝟏𝟎 𝒆 𝒕 𝟐 𝑪𝒐𝒔(𝟐𝒕) En que instante 𝑡 la posición de la estructura es 𝑦(𝑡) = 4? Por tanto se trata de resolver la ecuación: 𝟏𝟎 𝒆 𝒕 𝟐 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒕 =𝟒

6 ESTABILIDAD CONVERGENCIA
La convergencia de un método numérico es la garantía de que, al realizar un “buen número” de iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado. En la medida que un método numérico requiera menos número de iteraciones que otro, para acercarse al valor deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia. ESTABILIDAD La estabilidad de un método numérico es el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen, por el contrario, divergen; esto es, se alejan cada vez más del resultado deseado. En la medida en la que un método numérico, sea más seguro que converja que otro, se dice que tiene una mayor estabilidad.

7 MÉTODO DE BISECCIÓN El método de Bisección: para la resolución de la ecuación 𝒇(𝒙) = 𝟎 se basa en el Teorema de Bolzano que nos asegura la existencia de, al menos, una raíz de una función 𝒇(𝒙) en un cierto intervalo [𝒂; 𝒃], bajo ciertas condiciones. El Teorema de Bolzano: afirma que si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado y en los extremos del mismo ésta toma valores con signos opuestos, entonces existe al menos una raíz de la función en el interior del intervalo. Dada 𝒇 (𝒙) = 𝟎, si 𝒇 es tal que es monótona y continua en , 𝒂, 𝒃 𝒇(𝒂) 𝒚 𝒇(𝒃) tienen signos distintos entonces existe, por lo menos una r, 𝒂< 𝒓 <𝒃, tal que 𝒇 𝒓 =𝟎. En general puede decirse que en el intervalo [𝒂, 𝒃] existe un número impar de raíces. El Teorema del Valor Intermedio: nos dice que toda función continua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios. Sea 𝒇: 𝒂,𝒃 ⊂ ℜ→ℜ continua en 𝒂, 𝒃 , y tal que 𝒇(𝒂)<𝑭(𝒃) entonces, para cualquier 𝒓 tal que 𝒇 𝒂 <𝒓<𝑭 𝒃 , existe un 𝒙 𝟎 ∈ 𝒂,𝒃 tal que 𝒇 𝒙 𝟎 =𝒓.

8 𝒙 𝟏 = 𝒂+𝒃 𝟐 ∈ 𝒂 𝟏 , 𝒃 𝟏 ; 𝒙 𝟐 ∈ 𝒂 𝟐 , 𝒃 𝟐 ; 𝒙 𝟑 ∈ 𝒂 𝟑 , 𝒃 𝟑 ; ⋯
MÉTODO DE BISECCIÓN Supongamos que f(x) es continua y cambia de signo en los extremos de [𝑎; 𝑏]. Se puede aproximar una solución de la ecuación 𝑓(𝑥) = 0 dividiendo el intervalo inicial en dos subíntervalos iguales y eligiendo aquel en el que 𝑓(𝑥) cambia de signo. Después se repite el proceso hasta que se velique algún criterio de parada. El método requiere de dividir repetidamente (iteraciones) a la mitad los subintervalos de 𝒂,𝒃 , y, en cada paso, localizar la mitad que contiene a la aproximación de la raíz 𝒓. La primera aproximación a la raíz se determina como: 𝒙 𝟏 = 𝒂+𝒃 𝟐 Debemos realizar las evaluaciones y determinar en que intervalo está la raíz. Si 𝑓 𝑥 1 =0, entonces la raíz 𝑟 es igual 𝑥 1 Si 𝑓 𝑎 ∙𝑓 𝑥 1 <0, la raíz se encuentra en 𝑎, 𝑥 1 . Si 𝑓 𝑎 ∙𝑓 𝑥 1 >0, la raíz se encuentra en 𝑥 1 , 𝑏 Calculamos una nueva aproximación a la raíz en el nuevo subintervalo. Al repetir este proceso, el tamaño del intervalo con la raíz se vuelve cada vez más pequeño. En cada paso, se toma el punto medio del intervalo como la aproximación más adecuada de la raíz. Se genera una sucesión: 𝒙 𝟏 = 𝒂+𝒃 𝟐 ∈ 𝒂 𝟏 , 𝒃 𝟏 ; 𝒙 𝟐 ∈ 𝒂 𝟐 , 𝒃 𝟐 ; 𝒙 𝟑 ∈ 𝒂 𝟑 , 𝒃 𝟑 ; ⋯ Donde cada intervalo 𝑎 𝑛 , 𝑏 𝑛 mide la mitad del anterior

9 Inconvenientes del Método
Calculo previo del numero de iteraciones En este método el cálculo de cotas de error es muy simple. Por cota de error entendemos un número que acote superiormente, en módulo, el error máximo que podríamos llegar a cometer cuando nos quedamos con uno de los puntos medios de los intervalos construidos mediante el algoritmo, en vez de con la solución del problema. El error se puede acotar de la siguiente forma. Tenemos 𝒙 𝒏 = 𝒂 𝒏−𝟏 + 𝒃 𝒏−𝟏 𝟐 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝒓− 𝒙 𝒏 = 𝜺 𝒏 ≤ 𝒃 𝒏−𝟏 − 𝒂 𝒏−𝟏 𝟐 𝒏 = 𝒃−𝒂 𝟐 𝒏 Por tanto, para determinar el numero de iteraciones utilizamos, la expresión: 𝒏≥ 𝐥𝐨𝐠⁡ 𝒃−𝒂 𝜺 𝐥𝐨𝐠⁡(𝟐) Inconvenientes del Método El método de bisección tiene inconvenientes importantes. Converge muy lentamente (o sea, N, número de iteraciones, puede ser muy grande antes que, 𝑥 − 𝑥 𝑛 , sea suficientemente pequeño) y, una buena aproximación intermedia puede ser desechada sin que nos demos cuenta. Además, hay que tener en cuenta que en el caso de existir más de una raíz (siempre en número impar) en el intervalo; el método sólo encuentra una de ellas, desechándose las otras. Entonces puede darse la situación paradójica que, se encuentre una raíz y sin embargo no sea esta la solución más conveniente al problema.

10 Aplicaciones del Método
La bisección suele recomendarse para encontrar un valor aproximado de la raíz, y luego este valor se refina por medio de métodos más eficaces. La razón es que la mayor parte de los otros métodos requieren un valor inicial cerca de una raíz; al carecer de dicho valor pueden fallar por completo. Converge para cualquier 𝑓 continua. Encontrar la raíz de 𝒇 𝒙 = 𝒆 𝒙 −𝐥𝐧⁡(𝒙) con un error más pequeño que media décima, en el intervalo 𝟏,𝟐 . Para 𝑥 1 =1 𝑦 𝑥 2 =2, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:𝑓 1 =0,3679;𝑦 𝑓 2 =−0,5578 𝒙 𝟑 = 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝟐 =𝟏,𝟓; 𝜺<𝟎,𝟓;𝒄𝒐𝒎𝒐 𝟏−𝟏,𝟓 =𝟎,𝟓 𝒚 𝟐−𝟏,𝟓 =𝟎,𝟓; 𝒇 𝒙 𝟑 =−𝟎,𝟏𝟖𝟐𝟑 Ahora, 𝑥 1 =1 𝑦 𝑥 3 =1,5, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:𝑓 1 =0,3679;𝑦 𝑓 1,5 =−0,1823 𝒙 𝟒 = 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟑 𝟐 =𝟏,𝟐𝟓; 𝜺<𝟎,𝟐𝟓;𝒄𝒐𝒎𝒐 𝟏,𝟓−𝟏,𝟐𝟓 =𝟎,𝟐𝟓 𝒚 𝟏−𝟏,𝟐𝟓 =𝟎,𝟐𝟓; 𝒇 𝒙 𝟒 =𝟎,𝟎𝟔𝟑𝟒 Ahora, 𝑥 4 =1,25 𝑦 𝑥 3 =1,5, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:𝑓 1,25 =0,0634;𝑦 𝑓 1,5 =−0,1823 𝒙 𝟓 = 𝒙 𝟒 + 𝒙 𝟑 𝟐 =𝟏,𝟑𝟕𝟓; 𝜺<𝟎,𝟏𝟐𝟓 ; 𝒇 𝒙 𝟓 =−𝟎,𝟎𝟔𝟓𝟔

11 De esta mane, se obtiene que 𝟏,𝟐𝟖𝟏𝟐𝟓±𝟎,𝟎𝟑𝟏𝟐𝟓 es una raíz de 𝒇 𝒙 .
Ahora, 𝑥 4 =1,25 𝑦 𝑥 5 =1,375, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:𝑓 1,25 =0,0634;𝑦 𝑓 1,375 =−0,0656 𝒙 𝟔 = 𝒙 𝟒 + 𝒙 𝟓 𝟐 =𝟏,𝟑𝟏𝟐𝟓; 𝜺<𝟎,𝟎𝟔𝟐𝟓; 𝒇 𝒙 𝟔 =−𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟖 Ahora, 𝑥 4 =1,25 𝑦 𝑥 5 =1,3125, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:𝑓 1,25 =0,0634;𝑦 𝑓 1,3125 =−0,0028 𝒙 𝟕 = 𝒙 𝟒 + 𝒙 𝟔 𝟐 =𝟏,𝟐𝟖𝟏𝟐𝟓; 𝜺<𝟎,𝟎𝟑𝟏𝟐𝟓; 𝒇 𝒙 𝟔 =−𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟖 De esta mane, se obtiene que 𝟏,𝟐𝟖𝟏𝟐𝟓±𝟎,𝟎𝟑𝟏𝟐𝟓 es una raíz de 𝒇 𝒙 .

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