La integral definida VBV.

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1 La integral definida VBV

2 Derivada  Recta tangente Integral  Área Entendemos:
Área de una función f : región comprendida entre la función y el eje X, entre dos líneas verticales.

3 Pensemos en como obtener el área bajo la función f
f(x) Sabemos calcular el área de polígonos…

4 Nosotros construiremos rectángulos!!!
Podríamos … f(x) x x0 x1 x2 x3 x4 Nosotros construiremos rectángulos!!!

5 Ejemplo: Se muestra al grafica de f . Usando fórmulas geométricas. Evaluar y calcular el área representada por la integral.

6 En realidad… Este es un problema muy antiguo (Arquimedes se plantea esto, pero son Newton y Leibniz los que lo resuelven) . Idea: Construir rectangulos “bajo” la curva f(x), encontrar el área de todos estos rectangulos.

7 Sea [a,b] un intervalo cerrado.
Dividamos el intervalo [a, b] en n sub-intervalos no necesariamente iguales eligiendo n-1 puntos entre a y b, y, hagamos x0=a y xn=b de tal forma que: x0 < x1 < x2 < x3 < … < xn-2 < xn-1 < xn Diremos que P ={x0,x1, ,xn} es una partición de [a,b]

8 Denotemos por Δxi la longitud de cada sub-intervalo tal que:
Δx1 = x1 – x0 Δx2 = x2 – x1 … Δxi = xi – xi-1 Δxn-1 = xn-1 – xn-2 Δxn = xn – xn-1 Notar que Δxi corresponderá a la base de cada rectángulo.

9 Definición: La longitud del sub-intervalo (o sub- intervalos) más largo de la partición P se llama norma de la partición y se denota ||P||. Esto es, ||P||= max{Δxi :i=1,…,n}

10 Ejemplo: Considerar el intervalo [1,3] y construir una partición donde n=4.

11 Pensar en una partición para [a,b]
Geométrica: a, ar, ar2,… arm, donde r0 Aritmética: a, a+d, a+2d, … a+md

12 PARTICIÓN GEOMÉTRICA Se define r como la raíz n-ésima del cuociente: b/a Se tiene: xi= x0*rn Notar que en esta partición la amplitud de cada sub-intervalo Δxi NO es constante .

13 PARTICIÓN ARITMÉTICA Se define d=(b-a)/n Se tiene: xi= x0+id
Notar que en esta partición la amplitud de cada sub-intervalo Δxi es constante e igual a d. Por esto, denotamos Δx=d.

14 Ejercicios: Construir en el intervalo [0,1] , las siguientes particiones y calcular su norma: 10 sub-intervalos usando la partición: xi= (i/n)2 8 sub-intervalos del mismo largo.

15 Pensemos en la altura de cada rectángulo…
Sea f : [a,b]   una función acotada P ={x0,x1, ,xn} una partición de [a,b] Para i = 1, ,n denotamos: mi = inf { f (x) : x  [xi-1 , xi ] } Mi = sup { f (x) : x  [xi-1 , xi ] } Como [a,b] , y f es acotada, entonces cada i el conjunto { f (x) : x  [xi-1 , xi ] } es no vacío y acotado, por tanto existen su ínfimo y supremo.

16 Definición: SUMA INFERIOR de f asociada a P
x1 x2 … a=x0 xn-1 b=xn

17 Definición: SUMA SUPERIOR de f asociada a P
x1 x2 … a=x0 xn-1 b=xn

18 Ejemplo: Calcular s(f,P) y S(f,P) en el intervalo [1,3], para la función f(x)=x2+2 Usando una partición con n=4.

19 Ejercicio: Sea Encuentre s(f,P) para una partición del intervalo [0,2] en dos partes iguales. Certamen 1 – II sem 2012

20 Proposición: Para cada partición, se verifica: s(f,P) ≤ S(f,P) Dem:
mi ≤ Mi  mi Δxi ≤ Mi Δxi   mi Δxi ≤  Mi Δxi  s(f,P) ≤ S(f,P)

21 Proposición: P1 P2  s(f,P1) ≤ s(f,P2) y S(f,P2) ≤ S(f,P1) Dem:
Pensar en agregar puntos (de a uno a la partición P1).

22 Corolario: Sean P1 y P2 dos particiones arbitrarias de [a,b]. Entonces: m (b -a) ≤ s(f ,P1) ≤ S(f,P2) ≤ M (b -a) Además, si P= P1  P2 , entonces: s(f ,P1) ≤ s(f ,P) ≤ S(f,P) ≤ S(f ,P2)

23 Definición: INTEGRAL INFERIOR de f en [a,b]

24 Definición: INTEGRAL SUPERIOR de f en [a,b]

25 OBS:

26 DEF: f se dice RIEMANN INTEGRABLE, si: Se escribe:

27 Pensar… ¿Qué debe suceder para que … ??????

28 Ejemplo: Calcular la integral de Riemann para f(x) = x en [a,b].
Considerando las particiones aritméticas: Pn= {xi=a+i(b-a)/n, i=1,…,n} Se tiene que:

29 Teorema Si la norma de la partición Pn se aproxima a cero, la suma inferior y superior coinciden. Esto es, Notar que es equivalente a decir:

30 OBS: Si hacemos que la norma de la partición Pn se aproxime a cero.
Entonces, la suma de Riemann se aproximará a un valor A que corresponde a la suma algebraica de las áreas comprendidas entre la gráfica de la función y=f(x) , y el eje x desde a hasta b.

31 Interpretación … La integral definida plantea el límite de una suma de áreas.

32 Teorema Considere una sucesión de particiones Pn de un intervalo [a,b] tales que: y, Entonces, f es Riemann integrable,

33 Veamos esto geométricamente…
n = 3 rectángulos

34 n = 6 rectángulos

35 n = 12 rectángulos

36 n = 24 rectángulos

37 n = 48 rectángulos

38 n = 99 rectángulos

39 Pensar en… Alguna función que NO sea Riemann integrable.

40 Definición: Sea f : [a,b]   una función acotada
P una partición de [a,b] Una SUMA DE RIEMANN para la función f respecto a la partición P es una suma finita de la forma:

41 En la grafica hemos considerado el punto medio de cada sub-intervalo.
x1 x2 … a=x0 xn-1 b=xn

42 Otra grafica… • y x y = f(x) x0=a xn=b x1 x2 xn-1 xi xi-1 Δ1x Δ2x Δix
y x y = f(x) x0=a xn=b x1 x2 xn-1 xi xi-1 • Δ1x Δ2x Δix Δnx Δn-1x … w1 w2 wi wn-1 wn

43 Ejercicios: Sea f(x) = x2. Considerar una partición del intervalo [0,1] en 8 sub-intervalos del mismo largo. Encontrar la suma inferior, superior y de Riemann. Estudiar estas sumas para una partición de n subintervalos. Hallar el área de f(x)=x2+2, entre x=-1 y x =2 mediante la busqueda del limite de las sumas de Riemann.

44 Ejercicios: Evaluar : Donde: x0=0, x1= …, xn =/6 Evaluar:
Donde: x0=1, x1=1+x …, xn =3

45 OBS: Cuando la función considerada es continua la suma superior e inferior corresponde a la suma de Riemann. Escribimos: Para denotar que:

46 Teorema: Sea f : [a,b]   una función acotada, entonces:
Si f es integrable en [a,b] , entonces:

47 Propiedades: Sean f , g : [a,b]   acotadas e integrables. Se cumple:

48 Salvo quizás en un un conjunto finito de puntos.

49 Proposición Si m  f(x)  M , salvo quizás en un conjunto finito de puntos, entonces:

50 Proposición(Aditividad):
Si f : [a,b]   es acotada e integrable, y para todo c  [a , b] . Se cumple: f es integrable en los intervalos [a , c ] y [c , b]. Además se verifica el reciproco.

51 Teorema: Si f : [a,b]   es continua en [a , b] excepto en x0 , x1 , x2 , …, xn Entonces, f es integrable en [a,b]. Además, se verifica:

52 Ejercicio: 1. Sea f una función continua en 1, 5, si:
Determine el valor de:

53 Definición: Sea f : [a,b]   acotada e integrable. Definimos:

54 Criterios de Integrabilidad

55 Teorema: S f : [a,b]   es monótona entonces f es integrable.

56 Observación Muchas de las funciones con las cuales se trabaja en cálculo son monótonas por intervalos. Por la propiedad de aditividad y este teorema podemos argumentar la integrabilidad de prácticamente todas las funciones elementales, como por ejemplo: ex , ln x, arctan x, etc.

57 Teorema: S f : [a,b]   es continua entonces f es integrable.

58 Veamos una aplicación de la integral…

59 Definición: Sea f : [a,b]   integrable .
se define el VALOR PROMEDIO de f en [a,b] por:

60 Teorema: Sea f : [a,b]   continua.
Entonces existe c[a,b] tal que f ( c ) = AV(f).

61 Ejercicios propuestos

62 1. Calcular: 2. Dem. 3. ¿Qué valores de a y b maximizan el valor de: ?

63 4. Hallar el valor medio de f(x) = 3x2-2x en [1,4]
5. Sea f una función continua y positiva en [a, b] tal que: Prueba que : f(x) = 0, x [a, b] 6. Justificar:

64 7. Sea: Justifica que f es integrable en [0,1], y se verifica la desigualdad:

65 8. Expresa el siguiente límite como sumas de Riemann:
9. Estimar el área bajo la gráfica de f(x) = sen x en [0, π] usando la suma superior e inferior , para una partición regular con n = 4. Además calcular la suma de Riemann con la elección de los puntos medios de los sub-intervalos.

66 10. Determine el valor de k, de modo que: 11
10. Determine el valor de k, de modo que: 11. Hallar el valor de c tal que el valor medio de la funci´on f(x) = x4 − 1 sobre [−c, c] es 0.

67 10. Sea: Calcular:

68 ????? 12. Justificando su respuesta, responda lo siguiente:
¿Será correcto afirmar que: ?????

69 Observación: En algunos de los ejercicios propuestos resulta necesario utilizar la regla de Barrows, que veremos la próxima semana.