Resolución de Ecuaciones No Lineales

Presentación del tema: "Resolución de Ecuaciones No Lineales"— Transcripción de la presentación:

1 Resolución de Ecuaciones No Lineales
Método de Muller

2 Ecuaciones No Lineales
Las ecuaciones no lineales son de interés en física y matemáticas debido a que la mayoría de los problemas físicos son implícitamente no lineales en su naturaleza

3 Método de Muller El método de Muller es un método iterativo el cual necesita de tres puntos iniciales (p0,f(p0)), (p1,f(p1)), (p2,f(p2)). Luego se construye una parábola que pase por estos 3 puntos y se usa la formula de resolución de las ecuaciones de segundo grado para determinar el punto de corte de dicha función con el eje OX.

4 Un predecesor del método de Muller es el método de la secante, el cual obtiene raíces, estimando una proyección de una línea recta en el eje x, a través de dos valores de la función.

5 Desarrollo del método de Muller
Nos dan la ecuación no lineal y los tres puntos: (p0,f(p0)), (p1,f(p1)), (p2,f(p2)). Se supone sin perdida de generalidad que p2 es la mejor aproximación a la raíz de dicha ecuación. Se considera la parábola que pasa por los tres puntos y luego se hace un cambio de variable: t = x – p2

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7 Se utilizan las siguientes diferencias: h0 = p0 – p2 y h1 = p1 – p2
Consideremos el polinomio cuadrático en la variable t: y = a*t^2 + b*t + c

8 Cada punto inicial nos proporciona una ecuación para a, b y c las cuales son: En t = h0: a*h0^2 + b*h0 + c = f(p0) En t = h1: a*h1^2 + b*h1 + c = f(p1) En t = 0: a*0^2 + b*0 + c = f(p2) De la tercera ecuación se obtiene que: c = f(p2)

9 Sustituyendo este resultado en las otras dos ecuaciones se obtiene que: a*h0^2 + b*h0 = f(p0) – c a*h1^2 + b*h1 = f(p1) – c Tomando e0 = f(p0) – c y e1 = f(p1) – c resolvemos el sistema para encontrar a y b: a = (e0*h1 – e1*h0)/(h1*h0^2 – h0*h1^2) b = (e1*h0^2 – e0*h1^2)/(h1*h0^2 – h0*h1^2)

10 Luego las raíces t = z1, z2 de
y = a*t^2 + b*t + c, se obtiene usando la formula : z = (-2*c)/(b + √(b^2 – 4*a*c)) Para asegurar la estabilidad del método hay que elegir la raíz z de menor valor absoluto, con esto si b>0, entonces usamos el signo positivo de la raíz cuadrada, mientras que si b<0 entonces usamos el signo negativo.

11 El nuevo punto p3 viene dado por: p3 = p2 + z
Para actualizar los valores y efectuar a siguiente iteración se eligen los nuevos p0 y p1 como los dos puntos mas cercanos a p3 entre {p0, p1, p2}, es decir se reemplazo el mas lejano y p3 pasa a ser el nuevo p2.

12 Finalmente se evalúa en la función el punto p3 y se vuelve a realizar el mismo proceso para los nuevos puntos. Como aclaración de la utilización del método de Muller para hallar raíces reales de f(x) = 0, es posible que nos encontremos con aproximaciones complejas debido a que eventualmente puede darse que b^2 < 4*a*c, en estos casos las partes imaginarias serán de pequeña magnitud por lo cual se despreciara su valor, de manera que nuestro cálculos se hagan con números reales.

13 Ejemplo de utilización:
f(x) = x^3 – 13*x – 12 Con p0 = 4.5, p2 = 5, p1 = 5.5 Solución: f(4.5) = ; f(5) = 48; f(5.5) = - Obtengamos h0 y h1: h0 = 4.5 – 5 = y h1 = 5.5 – 5 = 0.5

14 - Tenemos que c = 48 - Continuando con el método tenemos que: e0 = f(p0) – c = = e1 = f(p1) – c = = - Obteniendo a y b: a = ( *0.5 – *-0.5)/(0.5*(-0.5)^2 – -0.5*(0.5)^2) = (3.75)/(0.25) = 15 b = (34.875*(-0.5)^2 – *(0.5)^2)/ (0.5*(-0.5)^2 – -0.5*(0.5)^2) = ( )/(0.25) = 62.25

15 - Finalmente utilizamos :
(-2*48)/( ) = Con lo que nos queda por hacer : p3 = = Luego los nuevos puntos {p0 = 5.5, p1 = 5, p2 = } se vuelve al punto uno para hacer una segunda iteración y así sucesivamente.