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Tele clase 5 Sistemas de ecuaciones lineales
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Ejemplo 3 4 5 2 6 7 1 20 15 8 14 16 9 19 13 17 13 10 12 18 11
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Ejemplo 3 4 5 2 6 7 1 20 15 8 14 16 9 19 17 13 10 12 18 11
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Tipos de métodos Se obtiene la solución exacta (si no se realizan redondeos) en un número finito de pasos. Directos: Iterativos: Se genera una sucesión de soluciones aproxima-das que converge hacia la solución del sistema.
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Métodos directos y su eficiencia
Número de operaciones Cramer O(n4) X=A-1B Invertir: O(4n3/3) Gauss O(n3/3)
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Ejemplo f1 9 -2 5 2 3 -1 1 f2 f3
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Ejemplo 2 3 -2 -1 1 9 5 f1 f2 f3 m2 = 3/2 = 1, f2 := f2 - m2 f1 m3 = 0/2 = f3 := f3 - m3 f1
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Ejemplo f1 2 3 -1 9 f2 -6,5 2,5 -15,5 f3 2 -1 5 m3 = 2/ f3 = f3 - m3 f2
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Ejemplo f1 2 3 -1 9 f2 -6,5 2,5 -15,5 f3 -0,2308 -0,2308
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El método de Gauss a21x1 + a22x a2nxn = b2 a11x1 + a12x a1nxn = b1 an1x1 + an2x annxn = bn
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Proceso directo Pivote
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Proceso directo Pivote
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Proceso directo Pivote
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Proceso directo Pivote
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Proceso directo Pivote
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Proceso inverso a11x1 + a12x a1nxn = b1 a22x a2nxn = b2 annxn = bn
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Proceso inverso a11x1 + a12x a1nxn = b1 a22x a2nxn = b2 annxn = bn
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Proceso inverso a11x1 + a12x a1nxn = b1 a22x a2nxn = b2 annxn = bn
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Proceso inverso a11x1 + a12x a1nxn = b1 a22x a2nxn = b2 annxn = bn
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Algoritmo de Gauss Se desea resolver el sistema determinado AX = B, donde A es de orden n x n Formar la matriz ampliada C Escalonar la matriz C (Proceso Directo) Hallar las incógnitas (Proceso Inverso)
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Formar la matriz ampliada C
for i = 1 to n for j = 1 to n ci j := ai j end ci,n+1 := bi end
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Algoritmo de Gauss Se desea resolver el sistema determinado AX = B, donde A es de orden n x n Formar la matriz ampliada C Escalonar la matriz C (Proceso Directo) Hallar las incógnitas (Proceso Inverso)
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Algoritmo de Gauss Se desea resolver el sistema determinado AX = B, donde A es de orden n x n Formar la matriz ampliada C Escalonar la matriz C (Proceso Directo) Hallar las incógnitas (Proceso Inverso)
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Proceso Directo for k =1 to n -1 {k: fila pivote} Seleccionar la fila pivote for i = k +1 to n {i: fila a modificar} m := ci k/ckk for j = k +1 to n+1 ci j := ci j - m ck j end end end
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Algoritmo de Gauss Se desea resolver el sistema determinado AX = B, donde A es de orden n x n Formar la matriz ampliada C Escalonar la matriz C (Proceso Directo) Hallar las incógnitas (Proceso Inverso)
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Algoritmo de Gauss Se desea resolver el sistema determinado AX = B, donde A es de orden n x n Formar la matriz ampliada C Escalonar la matriz C (Proceso Directo) Hallar las incógnitas (Proceso Inverso)
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Proceso inverso i:= n do while i 1 xi := ci, n+1 for j = i+1 to n xi := xi - ci j xj end xi := xi /ci i i := i - 1 end
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Algoritmo de Gauss Se desea resolver el sistema determinado AX = B, donde A es de orden n x n Formar la matriz ampliada C Escalonar la matriz C (Proceso Directo) Hallar las incógnitas (Proceso Inverso)
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Estrategias de pivote ¿Cómo seleccionar la fila pivote? Estrategia elemental Estrategia parcial Estrategia total
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Estrategia elemental i := k do while ci k< and i n i := i+1 end if i > n then Terminar if i > k then for j = k to n+1 prov:=ci j; ci j:= ck j ; ck j := prov end end
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Estrategias de pivote ¿Cómo seleccionar la fila pivote? Estrategia elemental Estrategia parcial Estrategia total
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Estrategias de pivote ¿Cómo seleccionar la fila pivote? Estrategia elemental Estrategia parcial Estrategia total
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Estrategia parcial Max:=ckk FilaDeMax := k for i = k+1 to n If ci k> Max then Max := ci k FilaDeMax := i end end If Max < then Terminar
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Estrategia parcial if FilaDeMax > k then for j = k to n+1 prov := cFilaDeMax, j cFilaDeMax, j := ck, j ck, j := prov end end
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Estrategias de pivote ¿Cómo seleccionar la fila pivote? Estrategia elemental Estrategia parcial Estrategia total
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Cantidad de operaciones
Proceso directo productos Proceso inverso productos Total productos
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Ejemplo ¿Qué tiempo tardaría en resolver un sistema de 30 ecuaciones lineales una computadora que realiza de productos por segundo si utiliza: el método de Cramer y calcula los determinantes por menores? el método de Gauss?
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Solución: Mediante el método de Cramer: determinantes de orden 30 3130 “ “ “ 313029 “ “ “ 313043 “ “ “ = ·1033 31! productos = 8,22·1027 segundos = 2,28·1024 horas = 2,61·1020 años = 2,61·1014 millones de años
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Solución: Mediante el método de Gauss: productos productos = 9000 productos = 0,009 segundos
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Ejemplo Halle las ecuaciones paramétricas de una curva que pase por los cuatro puntos: P1, P2, P3 y P4 en ese orden 1 3 4 x y P3 P2 P1 P4
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Ejemplo Curva: x(t) = a0t3 + a1t2 + a2t + a3 y(t) = b0t3 + b1t2 + b2t + b3 t = 1 P1 x(1) = 1; y(1) = 1 t = 2 P2 x(2) = 4; y(2) = 3 t = 3 P3 x(3) = 1; y(3) = 3 t = 4 P4 x(4) = 4; y(4) = 1
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Ejemplo Curva: x(t) = a0t3 + a1t2 + a2t + a3 y(t) = b0t3 + b1t2 + b2t + b3 x(1) = 1 x(2) = 4 x(3) = 1 x(4) = 4
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Ejemplo Curva: x(t) = a0t3 + a1t2 + a2t + a3 y(t) = b0t3 + b1t2 + b2t + b3 x(1) = 1 1 = a0 + a1 + a2 + a3 x(2) = 4 4 = 8a0 + 4a1 + 2a2 + a3 x(3) = 1 1 = 27a0 + 9a1 + 3a2 + a3 x(4) = 4 4 = 64a0 + 16a1 + 4a2 + a3
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Ejemplo
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Ejemplo
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Ejemplo a0 = 2 a1 = -15 a2 = 34 a3 = -20 x(t) = 2t3 - 15t2 + 34t - 20
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Ejemplo Curva: x(t) = a0t3 + a1t2 + a2t + a3 y(t) = b0t3 + b1t2 + b2t + b3 P1 t = 1 x(1) = 1; y(1) = 1 P2 t = 2 x(2) = 4; y(2) = 3 P3 t = 3 x(3) = 1; y(3) = 3 P4 t = 4 x(4) = 4; y(4) = 1
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Ejemplo Curva: x(t) = a0t3 + a1t2 + a2t + a3 y(t) = b0t3 + b1t2 + b2t + b3 y(1) = 1 y(2) = 3 y(3) = 3 y(4) = 1
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Ejemplo Curva: x(t) = a0t3 + a1t2 + a2t + a3 y(t) = b0t3 + b1t2 + b2t + b3 y(1) = 1 1 = b0 + b1 + b2 + b3 y(2) = 3 3 = 8b0 + 4b1 + 2b2 + b3 y(3) = 3 3 = 27b0 + 9b1 + 3b2 + b3 y(4) = 1 1 = 64b0 + 16b1 + 4b2 + b3
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Ejemplo
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Ejemplo a0 = 2 a1 = -15 a2 = 34 a3 = -20 b0 = 0 b1 = -1 b2 = 5 b3 = -3 x(t) = 2t3 - 15t2 + 34t - 20 y(t) = - t2 + 5t - 3
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Grafico
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Sistemas tridiagonales
=
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Sistemas tridiagonales
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Sistemas tridiagonales
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Sistemas tridiagonales
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Sistemas tridiagonales
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Sistemas tridiagonales
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Sistemas tridiagonales
i: 2...n
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Sistemas tridiagonales
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Sistemas tridiagonales
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Algoritmo for i = 2 to n end xn := qn i := n - 1 repeat i := i - 1 until i = 0
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Algoritmo for i = 2 to n end xn := qn i := n - 1 repeat i := i - 1 until i = 0 La solución es x1, x2 ,..., xn Terminar
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Cantidad de operaciones
Para resolver un sistema tridiagonal de n ecuaciones lineales, el método de Gauss especializado requiere 8n operaciones
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Calculo de determinantes
Se desea hallar el determinante de la matriz A de orden n Escalonar la matriz A Cada vez que se permutan dos filas, cambia el signo del determinante Hallar el producto de los elementos de la diagonal de la matriz escalonada.
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Calculo de determinantes
Signo := 1 for i = 1 to n-1 Hallar la fila pivote, k if k > i then Intercambiar filas i y k Signo := - Signo end end
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Calculo de determinantes
if k > i then Intercambiar filas i y k Signo := - Signo end end Determinante := Signo for i = 1 to n Determinante := aii*Determinante end Terminar
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Inversión de matrices Se quiere hallar la inversa de la matriz no singular Hallar X3x3 tal que: AX = I3x3
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Inversión de matrices
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Inversión de matrices
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Inversión de matrices
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Inversión de matrices
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Cantidad de operaciones
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Ejemplo
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Ejemplo
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Ejemplo
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Norma de un vector Si x es el vector de Rn la norma de x se define como el escalar:
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Norma de un vector Si A es una matriz de n x n la norma de A se define como:
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Ejemplo = 5 = 8
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Sistemas mal condicionados
El sistema Ax = b se llama mal condicionado si pequeños cambios en los coeficientes del sistema conducen a grandes cambios en su solución.
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Ejemplo Solución: x = 1; y = 1 Solución: x = 2; y = 0
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Numero de condición El número de condición del sistema Ax = b se denota: cond(A) y se define como: cond(A) =
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Ejemplo cond(A) = 404
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Bibliografía Texto: Secciones 3.1, 3.2, 3.3 y 3.4
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Ejercicios recomendados
Sección 3.2: 1, 3 Sección 3.3: 1a), 4a) y 7a) Sección 3.4: 1 y 2
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