Integral Definida y sus Aplicaciones.

Presentación del tema: "Integral Definida y sus Aplicaciones."— Transcripción de la presentación:

1 Integral Definida y sus Aplicaciones

2 Área de una región plana.

3 y x y=f(x) a=x0 xn=b A B

4 Area de una región plana

5 Problema físico

6 Hallar el camino S recorrido por un punto material en
el intervalo de tiempo de t=t0 a t=T si se conoce la velocidad v en función de t. Motivación con un problema físico

7 Planteamiento matemático del problema físico

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9 INTEGRALES DEFINIDAS

10 Una partición P de [a,b] es cualquier división de [a,b],
en subintervalos de la forma:

11 [x0,x1],[x1,x2],…,[xn-1,xn] siendo n y xk tales que a=x0<x1<...<xn-1<xn=b

12 Ilustración de una partición
xk xn a=x0 xk-1 xk xn-1 xn=b

13 se llama norma de la partición.
Se denomina por El mayor de los se llama norma de la partición. Continuación de la introducción al tema

14 Sea f definida en [a,b] y sea P una partición de [a,b]
Sea f definida en [a,b] y sea P una partición de [a,b]. Una suma de Riemann de f para P, es una expresión RP de la forma:

15 donde wk[xk-1,xk]

16 G. F. B. Riemann Foto de Riemann

17 Sea f definida en [a,b] y sea I un número real, entonces
significa que

18 Para todo >0 existe un >0 tal que si P es una partición de [a,b] con Entonces:

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20 para cualquier elección de números wk en [xk-1,xk] de P.
I se llama límite de la suma de Riemann.

21 I=límite de la suma de Riemann.

22 Sea f definida en [a,b]. La integral definida de f entre a y b se denota por:

23 Y está dada por siempre que exista el límite

24 Si existe la integral definida de f entre a y b, se dice que f es integrable en [a,b].

25 Los números a y b se denominan límites inferior y superior de integración.

26 Si c > d, entonces

27 Si f(a) existe, entonces

28 Teorema: Si una función f es continua en [a,b], entonces f es integrable en [a,b].

29 Una función f, acotada en [a,b] con un número finito de discontinuidades en él, es integrable en [a,b]. Destacar después de la condición de integrabilidad anterior.

30 Teorema Fundamental del Cálculo
Destacar después de la condición de integrabilidad anterior.

31 Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a,b]

32 Si la función G está definida por
Parte I Si la función G está definida por Destacar después de la condición de integrabilidad anterior.

33 para todo x en [a,b], entonces G es una antiderivada de f en [a,b]

34 Parte II Si F es cualquier antiderivada de f en [a,b], entonces

35 Si f es continua en [a,b] y F es cualquier antiderivada de f, entonces

36 Gottfried Wilhelm Leibniz
Fotos de Leibniz y Newton

37 Sir Isaac Newton Fotos de Leibniz y Newton

38 Ejemplo: Calcular

39 Se conoce que o sea,

40 Por eso,

41 Otras aplicaciones

42 Area de una región R y=f(x) Y R y=g(x) a b X

43 Area de una región R. Si f y g son continuas y
f(x)  g(x) para todo x en [a,b]

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45 Ejemplo: Hallar el área de la región limitada por las parábolas y = 4x – x2 e y = x2- 4x + 6

46 y=x2-4x+6 Y 1 3 x y=4x-x2

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48 Trabajo realizado por una fuerza

49 Sea f(x) la fuerza en el punto de coordenada x sobre una recta de coordenada l, donde f es continua en (a,b).

50 El trabajo realizado al mover un objeto del punto con coordenada a al punto con coordenada b es:

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52 Cálculo de cantidades

53 Sean R(t) la rapidez de cambio y Q(t) la cantidad presente al tiempo t de una entidad física o de otro tipo, siendo Q(t) derivable, entonces

54 el incremento de Q entre a y b es

55 Se comienza a bombear petróleo a un tanque de almacenamiento a las 9
Se comienza a bombear petróleo a un tanque de almacenamiento a las 9.00 am a razón de (150t½+25)L/h. Cuántos litros se habrán bombeado al tanque a la 1.00pm?

56 Solución

57 Se han bombeado 900 litros de petróleo.