Tele clase 7 Cálculo de valores y vectores propios.

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1 Tele clase 7 Cálculo de valores y vectores propios

2 Valor propio de A Si A es una matriz cuadrada de orden n, se dice que el número  es un valor propio de A si existe algún vector x no nulo de Rn tal que Ax = x

3 Vector propio de A Si  es un valor propio de A, a todos los vectores x que satisfacen la condición: Ax = x se les llama vectores propios de A asociados al valor propio 

4 Vector propio de A Si  es un valor propio de A, a todos los vectores x que satisfacen la condición: Incluido el nulo Ax = x se les llama vectores propios de A asociados al valor propio 

5 Ejemplo

6 Ejemplo

7 Ejemplo = 2x

8 Ejemplo  = 2 es un valor propio de A

9 Ejemplo

10 Ejemplo son vectores propios de A asociados a  = 2, porque todos cumplen que Ax = 2x

11 Algunas aplicaciones

12 Algunas aplicaciones El método de Jacobi converge si y solo si el mayor valor propio de la matriz M es menor que 1.

13 Algunas aplicaciones El método de Jacobi converge si y solo si el mayor valor propio de la matriz M es menor que 1. La forma en que vibra una estructura está dada por los vectores propios de la matriz de rigidez.

14 Algunas aplicaciones La frecuencia con que vibra una estructura está dada por los valores propios de la matriz de rigidez.

15 Algunas aplicaciones La frecuencia con que vibra una estructura está dada por los valores propios de la matriz de rigidez. La composición por edades de una población que se mantiene estable, está dada por los vectores propios de la matriz de transición de edades.

16 Algunas aplicaciones Una superficie cuádrica con centro en el origen se puede representar como xTAx = 0 y los vectores propios de A señalan los ejes de la superficie.

17 Algunas aplicaciones El mal condicionamiento del sistema lineal Ax = b puede medirse mediante donde max es el mayor valor propio de A y min, el menor.

18 Sub espacios propios Puede demostrarse que el conjunto de los vectores propios asociados a un mismo valor propio  forman un espacio vectorial, que se denomina sub espacio propio.

19 Sub espacios propios Puede demostrarse que el conjunto de los vectores propios asociados a un mismo valor propio  forman un espacio vectorial, que se denomina sub espacio propio. Se obtiene resolviendo el sistema homogéneo Ax = x

20 Polinomio característico

21 Polinomio característico
Ax = x

22 Polinomio característico
Ax = x Ax - x = 0

23 Polinomio característico
Ax = x Ax - x = 0 Ax - Ix = 0

24 Polinomio característico
Ax = x Ax - x = 0 Ax - Ix = 0 (A - I)x = 0

25 Polinomio característico
Ax = x Ax - x = 0 Ax - Ix = 0 (A - I)x = 0 Como este sistema es indeterminado: det(A - I) = 0

26 Polinomio característico
Ax = x Ecuación característica Ax - x = 0 Ax - Ix = 0 (A - I)x = 0 Como este sistema es indeterminado: det(A - I) = 0

27 Polinomio característico
Ax = x Polinomio característico Ax - x = 0 Ax - Ix = 0 (A - I)x = 0 Como este sistema es indeterminado: det(A - I) = 0

28 Ejemplo Hallar los valores propios de la matriz y uno de los sub espacios propios

29 Solución Ecuación característica: det(A - I) = 0

30 Solución Ecuación característica: det(A - I) = 0

31 Solución Ecuación característica: det(A - I) = 0

32 Solución Ecuación característica:

33 Solución Ecuación característica: Valores propios:  = 1  = 2  = 0

34 Solución Sub espacio propio asociado a  = 2: (A - 2I)x = 0

35 Solución Sub espacio propio asociado a  = 2: (A - 2I)x = 0

36 Solución Sub espacio propio asociado a  = 2: (A - 2I)x = 0

37 Solución Sub espacio propio asociado a  = 2: (A - 2I)x = 0

38 Solución Sub espacio propio asociado a  = 2: (A - 2I)x = 0

39 Solución Sub espacio propio asociado a  = 2: (A - 2I)x = 0

40 Localización de los autovalores

41 Localización de los autovalores
Si A es una matriz simétrica, todos sus valores propios son reales.

42 Localización de los autovalores
Si A es una matriz simétrica, todos sus valores propios son reales. Todos los valores propios de cualquier matriz A satisfacen la condición:

43 Localización de los autovalores
Los valores propios de cualquier matriz A satisfacen la condición: 1 + 2 +…+ n = a11 + a22+…+ ann = Traza(A)

44 Localización de los autovalores
Los valores propios de cualquier matriz A satisfacen la condición: 12 …n = det(A)

45 Ejemplo Valores propios:  = 1  = 2  = 0

46 Ejemplo Valores propios:  = 1  = 2  = 0 Traza(A) = 3 =

47 Ejemplo Valores propios:  = 1  = 2  = 0 Traza(A) = 3 = det(A) = 0 = (1)(2)(0)

48 Un problema muy difícil
Hallar el polinomio característico de una matriz requiere de muchas operaciones simbólicas y es una operación sumamente laboriosa y difícil de automatizar.

49 Un problema mas fácil Evaluar el polinomio característico de una matriz para un valor de la variable requiere de operaciones numéricas y es fácil de automatizar.

50 Ejemplo Hallar con 4 cifras decimales exactas el valor propio positivo más pequeño de la matriz:

51 Solución: Como la matriz es de orden 4, el polinomio característico es de cuarto grado.

52 Solución: Como la matriz es de orden 4, el polinomio característico es de cuarto grado. Como la matriz es simétrica todos los valores propios son reales.

53 Solución: Como la matriz es de orden 4, el polinomio característico es de cuarto grado. Como la matriz es simétrica todos los valores propios son reales. La matriz tiene cuatro valores propios, todos reales.

54 Solución

55 Solución Los cuatro valores propios están entre - 8 y 8.

56 Polinomio característico
P() = det(A - I)

57 Polinomio característico
P() = det(A - I) P(-8) = det(A - 8I) = 4357

58 Valores del polinomio P(-8) = 4357 P(-7) = 2346 P(-6) = 1053 P(-5) = 298 P(-4) = -75 P(-3) = -198 P(-2) = -179 P(-1) = -102 P(0) = -27 P(1) = 10 P(2) = -3 P(3) = -54 P(4) = -107 P(5) = -102 P(6) = 45 P(7) = 442 P(8) = 1221

59 Gráfico del polinomio

60 Separación del valor propio
El valor propio positivo más pequeño se encuentra en [0; 1]

61 Cálculo del valor propio
El valor propio positivo más pequeño se encuentra en [0; 1] Utilizando el método de la bisección se obtuvo:  =

62 El método de la potencia

63 El método de la potencia
Valores propios: 1 y 2

64 El método de la potencia
Valores propios: 1 y 2

65 El método de la potencia
Valores propios: 1 y 2 x1: Vector propio unitario asociado a 1

66 El método de la potencia
Valores propios: 1 y 2 x1: Vector propio unitario asociado a 1 x2: Vector propio unitario asociado a 2

67 El método de la potencia
z: un vector cualquiera de R2

68 El método de la potencia
z: un vector cualquiera de R2 z = 1x1 + 2x2

69 El método de la potencia
z: un vector cualquiera de R2 z = 1x1 + 2x2 Az = 1 Ax1 + 2 Ax2

70 El método de la potencia
z: un vector cualquiera de R2 z = 1x1 + 2x2 Az = 1 Ax1 + 2 Ax2 = 1 1x1 + 2 2x2

71 El método de la potencia
z: un vector cualquiera de R2 z = 1x1 + 2x2 Az = 1 Ax1 + 2 Ax2 = 1 1x1 + 2 2x2 = 1 (1 x1) + 2 (2 x2)

72 El método de la potencia
z: un vector cualquiera de R2 z = 1x1 + 2x2 Az = 1 Ax1 + 2 Ax2 Az = 1 Ax1 + 2 Ax2 = 1 1x1 + 2 2x2 Az = 1 (1 x1) + 2 (2 x2)

73 Geométricamente

74 Geométricamente z x2 x1

75 Geométricamente 2x2 z x2 1x1 1x1 x1

76 Geométricamente 2x2 22x1 z 11x1 x2 1x1 1x1 x1

77 Geométricamente 2x2 Az 22x1 z 11x1 x2 1x1 1x1 x1

78 Geométricamente Az z x2 x1

79 Conclusión La sucesión de vectores: Az, A2z, A3z, ... converge hacia un vector propio asociado con el valor propio de mayor valor absoluto.

80 Idea general

81 Idea general 1 Tomar un vector z de norma 1

82 Idea general 1 Tomar un vector z de norma 1 2 Hallar w = Az

83 Idea general 1 Tomar un vector z de norma 1 2 Hallar w = Az 3 Hallar aprox = wi / zi

84 Idea general 1 Tomar un vector z de norma 1 2 Hallar w = Az 3 Hallar aprox = wi / zi 4 Normalizar w para obtener z

85 Idea general 1 Tomar un vector z de norma 1 2 Hallar w = Az 3 Hallar aprox = wi / zi 4 Normalizar w para obtener z 5 Regresar a 2

86 Algoritmo

87 Algoritmo Hipótesis: A posee un valor propio mayor que todos los demás.

88 Algoritmo Hipótesis: A posee un valor propio mayor que todos los demás. Datos: A, n, x0, 

89 Algoritmo

90 Algoritmo z := x0

91 Algoritmo z := x0 v := 

92 Algoritmo z := x0 v :=  repeat

93 Algoritmo z := x0 v :=  repeat w := Az

94 Algoritmo z := x0 v :=  repeat w := Az NormaW := 0; imax := 0

95 Algoritmo z := x0 v :=  repeat w := Az NormaW := 0; imax := 0 for i = 1 to n

96 Algoritmo z := x0 v :=  repeat w := Az NormaW := 0; imax := 0 for i = 1 to n if |wi| > NormaW then

97 Algoritmo z := x0 v :=  repeat w := Az NormaW := 0; imax := 0 for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi|

98 Algoritmo z := x0 v :=  repeat w := Az NormaW := 0; imax := 0 for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi| imax := i

99 Algoritmo z := x0 v :=  repeat w := Az NormaW := 0; imax := 0 for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi| imax := i end

100 Algoritmo for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi| imax := i end

101 Algoritmo for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi| imax := i end

102 Algoritmo for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi| imax := i end end

103 Algoritmo for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi| imax := i end end aprox := wimax / zimax

104 Algoritmo for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi| imax := i end end aprox := wimax / zimax Error := | aprox - v|

105 Algoritmo for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi| imax := i end end aprox := wimax / zimax Error := | aprox - v| z := w / NormaW

106 Algoritmo aprox := wimax / zimax Error := | aprox - v| z := w / NormaW

107 Algoritmo aprox := wimax / zimax Error := | aprox - v| z := w / NormaW

108 Algoritmo aprox := wimax / zimax Error := | aprox - v| z := w / NormaW v := aprox

109 Algoritmo aprox := wimax / zimax Error := | aprox - v| z := w / NormaW v := aprox until Error < 

110 Algoritmo aprox := wimax / zimax Error := | aprox - v| z := w / NormaW v := aprox until Error <  aprox es el mayor valor propio y z es un vector propio asociado a aprox

111 Algoritmo aprox := wimax / zimax Error := | aprox - v| z := w / NormaW v := aprox until Error <  aprox es el mayor valor propio y z es un vector propio asociado a aprox Terminar

112 Ejemplo Hallar con 4 cifras decimales exactas el valor propio de mayor valor absoluto de la matriz:

113 Ejemplo

114 Ejemplo

115 Ejemplo

116 Ejemplo

117 Ejemplo

118 Ejemplo

119 Ejemplo

120 Ejemplo

121 Ejemplo

122 Ejemplo

123 Ejemplo

124 Ejemplo

125 Respuesta El valor propio de A con mayor valor absoluto es  = 5,802924

126 Respuesta El valor propio de A con mayor valor absoluto es  = 5,802924 El vector propio de A con norma 1, asociado a  es:

127 Bibliografía Texto: Sección 3.5

128 Ejercicios recomendados
Sección 3.5: 1, 2, y 4