Tele clase 7 Cálculo de valores y vectores propios

Valor propio de A Si A es una matriz cuadrada de orden n, se dice que el número  es un valor propio de A si existe algún vector x no nulo de Rn tal que Ax = x

Vector propio de A Si  es un valor propio de A, a todos los vectores x que satisfacen la condición: Ax = x se les llama vectores propios de A asociados al valor propio 

Vector propio de A Si  es un valor propio de A, a todos los vectores x que satisfacen la condición: Incluido el nulo Ax = x se les llama vectores propios de A asociados al valor propio 

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo = 2x

Ejemplo  = 2 es un valor propio de A

Ejemplo

Ejemplo son vectores propios de A asociados a  = 2, porque todos cumplen que Ax = 2x

Algunas aplicaciones

Algunas aplicaciones El método de Jacobi converge si y solo si el mayor valor propio de la matriz M es menor que 1.

Algunas aplicaciones El método de Jacobi converge si y solo si el mayor valor propio de la matriz M es menor que 1. La forma en que vibra una estructura está dada por los vectores propios de la matriz de rigidez.

Algunas aplicaciones La frecuencia con que vibra una estructura está dada por los valores propios de la matriz de rigidez.

Algunas aplicaciones La frecuencia con que vibra una estructura está dada por los valores propios de la matriz de rigidez. La composición por edades de una población que se mantiene estable, está dada por los vectores propios de la matriz de transición de edades.

Algunas aplicaciones Una superficie cuádrica con centro en el origen se puede representar como xTAx = 0 y los vectores propios de A señalan los ejes de la superficie.

Algunas aplicaciones El mal condicionamiento del sistema lineal Ax = b puede medirse mediante donde max es el mayor valor propio de A y min, el menor.

Sub espacios propios Puede demostrarse que el conjunto de los vectores propios asociados a un mismo valor propio  forman un espacio vectorial, que se denomina sub espacio propio.

Sub espacios propios Puede demostrarse que el conjunto de los vectores propios asociados a un mismo valor propio  forman un espacio vectorial, que se denomina sub espacio propio. Se obtiene resolviendo el sistema homogéneo Ax = x

Polinomio característico

Polinomio característico Ax = x

Polinomio característico Ax = x Ax - x = 0

Polinomio característico Ax = x Ax - x = 0 Ax - Ix = 0

Polinomio característico Ax = x Ax - x = 0 Ax - Ix = 0 (A - I)x = 0

Polinomio característico Ax = x Ax - x = 0 Ax - Ix = 0 (A - I)x = 0 Como este sistema es indeterminado: det(A - I) = 0

Polinomio característico Ax = x Ecuación característica Ax - x = 0 Ax - Ix = 0 (A - I)x = 0 Como este sistema es indeterminado: det(A - I) = 0

Polinomio característico Ax = x Polinomio característico Ax - x = 0 Ax - Ix = 0 (A - I)x = 0 Como este sistema es indeterminado: det(A - I) = 0

Ejemplo Hallar los valores propios de la matriz y uno de los sub espacios propios

Solución Ecuación característica: det(A - I) = 0

Solución Ecuación característica: det(A - I) = 0

Solución Ecuación característica: det(A - I) = 0

Solución Ecuación característica:

Solución Ecuación característica: Valores propios:  = 1  = 2  = 0

Solución Sub espacio propio asociado a  = 2: (A - 2I)x = 0

Solución Sub espacio propio asociado a  = 2: (A - 2I)x = 0

Solución Sub espacio propio asociado a  = 2: (A - 2I)x = 0

Solución Sub espacio propio asociado a  = 2: (A - 2I)x = 0

Solución Sub espacio propio asociado a  = 2: (A - 2I)x = 0

Solución Sub espacio propio asociado a  = 2: (A - 2I)x = 0

Localización de los autovalores

Localización de los autovalores Si A es una matriz simétrica, todos sus valores propios son reales.

Localización de los autovalores Si A es una matriz simétrica, todos sus valores propios son reales. Todos los valores propios de cualquier matriz A satisfacen la condición:

Localización de los autovalores Los valores propios de cualquier matriz A satisfacen la condición: 1 + 2 +…+ n = a11 + a22+…+ ann = Traza(A)

Localización de los autovalores Los valores propios de cualquier matriz A satisfacen la condición: 12 …n = det(A)

Ejemplo Valores propios:  = 1  = 2  = 0

Ejemplo Valores propios:  = 1  = 2  = 0 Traza(A) = 3 = 1 + 2 + 0

Ejemplo Valores propios:  = 1  = 2  = 0 Traza(A) = 3 = 1 + 2 + 0 det(A) = 0 = (1)(2)(0)

Un problema muy difícil Hallar el polinomio característico de una matriz requiere de muchas operaciones simbólicas y es una operación sumamente laboriosa y difícil de automatizar.

Un problema mas fácil Evaluar el polinomio característico de una matriz para un valor de la variable requiere de operaciones numéricas y es fácil de automatizar.

Ejemplo Hallar con 4 cifras decimales exactas el valor propio positivo más pequeño de la matriz:

Solución: Como la matriz es de orden 4, el polinomio característico es de cuarto grado.

Solución: Como la matriz es de orden 4, el polinomio característico es de cuarto grado. Como la matriz es simétrica todos los valores propios son reales.

Solución: Como la matriz es de orden 4, el polinomio característico es de cuarto grado. Como la matriz es simétrica todos los valores propios son reales. La matriz tiene cuatro valores propios, todos reales.

Solución

Solución Los cuatro valores propios están entre - 8 y 8.

Polinomio característico P() = det(A - I)

Polinomio característico P() = det(A - I) P(-8) = det(A - 8I) = 4357

Valores del polinomio P(-8) = 4357 P(-7) = 2346 P(-6) = 1053 P(-5) = 298 P(-4) = -75 P(-3) = -198 P(-2) = -179 P(-1) = -102 P(0) = -27 P(1) = 10 P(2) = -3 P(3) = -54 P(4) = -107 P(5) = -102 P(6) = 45 P(7) = 442 P(8) = 1221

Gráfico del polinomio

Separación del valor propio El valor propio positivo más pequeño se encuentra en [0; 1]

Cálculo del valor propio El valor propio positivo más pequeño se encuentra en [0; 1] Utilizando el método de la bisección se obtuvo:  = 0.56804

El método de la potencia

El método de la potencia Valores propios: 1 y 2

El método de la potencia Valores propios: 1 y 2

El método de la potencia Valores propios: 1 y 2 x1: Vector propio unitario asociado a 1

El método de la potencia Valores propios: 1 y 2 x1: Vector propio unitario asociado a 1 x2: Vector propio unitario asociado a 2

El método de la potencia z: un vector cualquiera de R2

El método de la potencia z: un vector cualquiera de R2 z = 1x1 + 2x2

El método de la potencia z: un vector cualquiera de R2 z = 1x1 + 2x2 Az = 1 Ax1 + 2 Ax2

El método de la potencia z: un vector cualquiera de R2 z = 1x1 + 2x2 Az = 1 Ax1 + 2 Ax2 = 1 1x1 + 2 2x2

El método de la potencia z: un vector cualquiera de R2 z = 1x1 + 2x2 Az = 1 Ax1 + 2 Ax2 = 1 1x1 + 2 2x2 = 1 (1 x1) + 2 (2 x2)

El método de la potencia z: un vector cualquiera de R2 z = 1x1 + 2x2 Az = 1 Ax1 + 2 Ax2 Az = 1 Ax1 + 2 Ax2 = 1 1x1 + 2 2x2 Az = 1 (1 x1) + 2 (2 x2)

Geométricamente

Geométricamente z x2 x1

Geométricamente 2x2 z x2 1x1 1x1 x1

Geométricamente 2x2 22x1 z 11x1 x2 1x1 1x1 x1

Geométricamente 2x2 Az 22x1 z 11x1 x2 1x1 1x1 x1

Geométricamente Az z x2 x1

Conclusión La sucesión de vectores: Az, A2z, A3z, ... converge hacia un vector propio asociado con el valor propio de mayor valor absoluto.

Idea general

Idea general 1 Tomar un vector z de norma 1

Idea general 1 Tomar un vector z de norma 1 2 Hallar w = Az

Idea general 1 Tomar un vector z de norma 1 2 Hallar w = Az 3 Hallar aprox = wi / zi

Idea general 1 Tomar un vector z de norma 1 2 Hallar w = Az 3 Hallar aprox = wi / zi 4 Normalizar w para obtener z

Idea general 1 Tomar un vector z de norma 1 2 Hallar w = Az 3 Hallar aprox = wi / zi 4 Normalizar w para obtener z 5 Regresar a 2

Algoritmo

Algoritmo Hipótesis: A posee un valor propio mayor que todos los demás.

Algoritmo Hipótesis: A posee un valor propio mayor que todos los demás. Datos: A, n, x0, 

Algoritmo

Algoritmo z := x0

Algoritmo z := x0 v := 

Algoritmo z := x0 v :=  repeat

Algoritmo z := x0 v :=  repeat w := Az

Algoritmo z := x0 v :=  repeat w := Az NormaW := 0; imax := 0

Algoritmo z := x0 v :=  repeat w := Az NormaW := 0; imax := 0 for i = 1 to n

Algoritmo z := x0 v :=  repeat w := Az NormaW := 0; imax := 0 for i = 1 to n if |wi| > NormaW then

Algoritmo z := x0 v :=  repeat w := Az NormaW := 0; imax := 0 for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi|

Algoritmo z := x0 v :=  repeat w := Az NormaW := 0; imax := 0 for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi| imax := i

Algoritmo z := x0 v :=  repeat w := Az NormaW := 0; imax := 0 for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi| imax := i end

Algoritmo for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi| imax := i end

Algoritmo for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi| imax := i end

Algoritmo for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi| imax := i end end

Algoritmo for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi| imax := i end end aprox := wimax / zimax

Algoritmo for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi| imax := i end end aprox := wimax / zimax Error := | aprox - v|

Algoritmo for i = 1 to n if |wi| > NormaW then NormaW := |wi| imax := i end end aprox := wimax / zimax Error := | aprox - v| z := w / NormaW

Algoritmo aprox := wimax / zimax Error := | aprox - v| z := w / NormaW

Algoritmo aprox := wimax / zimax Error := | aprox - v| z := w / NormaW

Algoritmo aprox := wimax / zimax Error := | aprox - v| z := w / NormaW v := aprox

Algoritmo aprox := wimax / zimax Error := | aprox - v| z := w / NormaW v := aprox until Error < 

Algoritmo aprox := wimax / zimax Error := | aprox - v| z := w / NormaW v := aprox until Error <  aprox es el mayor valor propio y z es un vector propio asociado a aprox

Algoritmo aprox := wimax / zimax Error := | aprox - v| z := w / NormaW v := aprox until Error <  aprox es el mayor valor propio y z es un vector propio asociado a aprox Terminar

Ejemplo Hallar con 4 cifras decimales exactas el valor propio de mayor valor absoluto de la matriz:

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Respuesta El valor propio de A con mayor valor absoluto es  = 5,802924

Respuesta El valor propio de A con mayor valor absoluto es  = 5,802924 El vector propio de A con norma 1, asociado a  es:

Bibliografía Texto: Sección 3.5

Ejercicios recomendados Sección 3.5: 1, 2, y 4