El método de Newton – Raphson y el método de las secantes

Presentación del tema: "El método de Newton – Raphson y el método de las secantes"— Transcripción de la presentación:

1 El método de Newton – Raphson y el método de las secantes
Tele clase 4 El método de Newton – Raphson y el método de las secantes

2 Dos tipos de métodos numéricos
Bisección De intervalos Regula Falsi Métodos iterativos Iterativo general De puntos Newton - Raphson Secantes

3 Método iterativo general
f(x) = 0 x = g(x) Proceso iterativo: x0: Conocido n = 1, 2, 3,...

4 Teorema Si g es continua y la sucesión x0, x1, x2,... generada por la ecuación recursiva posee un límite finito entonces es solución de la ecuación x = g(x)

5 Demostración: es solución de x = g(x)

6 Ejemplo Resolver la ecuación: 2cos3t e2t t0 = 0,2

7 Ejemplo e2t t0 = 0,2 n > 0

8 Ejemplo n tn n tn 0 0,2 ,2248 1 0,2430 ,2233 2 0,2073 e2t ,2246 3 0,2375 ,2235 4 0,2123 ,2244 5 0,2335 ,2237 6 0,2158 7 0,2307 tn  0,

9 Ejemplo e2t t0 = 0,2 n > 0

10 Teorema Sea r raíz de la ecuación x = g(x). Sea I un entorno de r en el cual g y g’ son continuas y se cumple que, para alguna constante K < 1 entonces, la sucesión generada por el proceso x0I; xn = g(xn-1) para n = 1, 2, 3,... converge hacia r

11 Ejemplo e2t

12 El método de Newton - Raphson
f(x) = 0 x = x + Af(x) g(x) = x + Af(x)

13 El método de Newton - Raphson
f(x) = 0 ?

14 Interpretación geométrica
y = 0 y = f(x) f(xn-1) xn r xn-1

15 Posibles problemas x y y = f(x) xn-1 r División por cero al hallar xn

16 Posibles problemas y y = f(x) xn-1 r x xn Función f no definida en xn

17 Posibles problemas y y = f(x) Q r x P Lazo infinito en el proceso

18 Posibles problemas x y y = f(x) r x1 x0

19 Posibles problemas x y y = f(x) x0 r x1¿? ¿Cómo seleccionar x0?

20 Teorema Sea r la única raíz de f(x) = 0 en [a, b]. Sean f’(x) y f “(x) continuas y no nulas en [a, b]. Sea x0 un elemento de [a, b] tal que f(x0)f “(x0) > 0. Entonces, si n = 1, 2,... se cumple que

21 Geométricamente x y f “(x) > 0 r x y f “(x) > 0 r x0 x0 x y f “(x) < 0 r x y f “(x) < 0 r x0 x0

22 Ejemplo El radio de la esfera B es un cm mayor que el de la esfera A, pero su volumen es el doble. Hallar el radio de cada esfera. B A Radio: x cm

23 Ejemplo Posee una raíz positiva y se encuentra en [0, 4]

24 Gráfica de f(x) en [-2,73; 4]

25 Ejemplo Posee una raíz positiva y se encuentra en [0, 4] Tomaremos: x0 = 4

26 Ejemplo n 4 1 3,857143 2 3,847367 3 3,847322 4 3,847322

27 Respuesta El radio de la esfera B es un cm mayor que el de la esfera A, pero su volumen es el doble. Hallar el radio de cada esfera. B A Radio: 3,847 cm Radio: 4,847 cm

28 Rapidez de la convergencia

29 Rapidez de la convergencia
xn

30 Rapidez de la convergencia

31 Rapidez de la convergencia
M: Cota superior de en [a, b] d: Cota inferior de en [a, b]

32 Comparación con otros métodos
Bisección: Regula Falsi: Convergencia lineal Newton – Raphson: Convergencia cuadrática

33 Cota del error

34 Cota del error

35 Cota del error

36 Cota del error Si entonces

37 Algoritmo xanterior := x0 repeat xanterior := x until Error <  La raíz es x y su error absoluto es menor que Error Terminar

38 En MN2000

39 En MN2000

40 En MN2000

41 En MN2000

42 En MN2000

43 El método de las secantes
y = f(x) r x2 x1 x0 Método de las tangentes

44 El método de las secantes
y = f(x) r Método de las secantes x2 x1 x0

45 El método de las secantes

46 Condiciones de convergencia
Sea r la única raíz de f(x) = 0 en [a, b]. Sean f’(x) y f “(x) continuas y no nulas en [a, b]. Sean x0 y x1 elementos de [a, b] tales que E(x0)  <1 y E(x1)  <1 con Entonces,

47 Rapidez de convergencia
Newton - Raphson Método de las secantes Método de

48 Cota del error

49 Algoritmo xa := x0; ya := f(x0) xb := x1; yb := f(x1) repeat yc := f(xc) xa := xb; ya := yb xb := xc; yb := yc until Error < 

50 Algoritmo until Error <  La raíz es xc y su error absoluto es menor que Error Terminar

51 Ejemplo Hallar, con cinco cifras decimales exactas, la raíz de la ecuación que se encuentra en [0, 4]

52 Gráfica de f(x) en [-2,73; 4]

53 Ejemplo Hallar, con cinco cifras decimales exactas, la raíz de la ecuación que se encuentra en [0, 4] Tomaremos: x0 = 4 y x1 = 3,5

54 MN2000

55 MN2000

56 MN2000

57 MN2000

58 MN2000

59 MN2000

60 MN2000

61 Respuesta x = 3, Solución: Error absoluto menor que: 0,

62 Comparación El método de las secantes no requiere calcular f ‘(x). El método de las secantes requiere por lo general una o dos iteraciones más que Newton – Raphson. El método de las secantes requiere evaluar una sola vez en cada iteracion.

63 Comparación El método de Newton – Raphson se puede extender en varios sentidos: Sistemas de n ecuaciones con n incógnitas, cálculo de raíces imaginarias, etcétera.

64 Bibliografía Texto: Secciones 2.5 y 2.6

65 Ejercicios recomendados
Sección 2.5: 1, 2, 3, 5 y 12 Sección 2.6: 1, 2, 3, 4 y 10