Ecuaciones Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que aparecen números y letras ligados por operaciones. Las letras representan cantidades.

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1 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que aparecen números y letras ligados por operaciones. Las letras representan cantidades indeterminadas, y se llaman incógnitas. Una igualdad que es cierta para cualquier valor de las variables es una identidad. 3x 2 – 18x + 19 = 12x – 29 Incógnita Igualdad 1 er miembro 2 o miembro

2 Soluciones de una ecuación. Ecuaciones equivalentes Las soluciones de una ecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas de manera que, al sustituirlos en una ecuación, la igualdad sea cierta. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la mismas soluciones. Transformaciones que conservan las soluciones de una ecuación.  Si se suma o resta el mismo número a los dos miembros de una ecuación se obtiene una ecuación equivalente.  Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número no nulo se obtiene una ecuación equivalente Ejemplos: La ecuación 3x 2 – 18x + 19 = 12x – 29 tiene una solución para x = 2. x = 1 no es solución de la ecuación anterior. Una ecuación equivalente a la anterior es x 2 – 10 x + 16 = 0 La ecuaciones x 2 = 1 y x 3 = 1 no son equivalentes

3 Ecuaciones polinómicas (I) Una ecuación en la que sólo aparecen polinomios se llama polinómica. Toda ecuación polinómica se puede transformar en otra equivalente de la forma P(x) = 0, en donde P(x) es un polinomio. Se llama grado de la ecuación al grado de P(x). Ecuaciones polinómicas de primer grado: toda ecuación polinómica de primer grado se puede transformar en otra de la forma ax + b = 0 con a  0 Soluciones: –b a esta ecuación tiene una única solución: x = Interpretación geométrica: un polinomio de grado 1 está representado por una recta. La solución de la ecuación es la abcisa del punto de corte de la recta con el eje x O X Y y = ax + b (–b/a, 0)

4 Ecuaciones polinómicas (II) Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, también llamadas cuadráticas, son equivalentes a ecuaciones de la forma ax 2 + bx + c = 0 con a  0 Soluciones: estas ecuaciones pueden tener dos, una o ninguna solución. Interpretación geométrica: un polinomio de segundo grado está representado por una parábola. Según la parábola corte al eje X en dos, uno o ningún punto la ecuación cuadrática tendrá dos, una o ninguna solución. x 2 + 1 = 0 tiene dos soluciones complejas:  i. No tiene soluciones reales: la parábola no corta al eje x y = x 2 +1y = (x +2) 2 (x + 2) 2 = 0 tiene una solución doble: –2. El polinomio tiene una raíz real doble. La parábola corta al eje x en un punto x 2 –2 = 0 tiene dos soluciones. El polinomio tiene dos raíces reales distintas. La parábola corta al eje x en dos puntos y = x 2 – 2

5 Ecuaciones polinómicas (III) Solución de una ecuación cuadrática Para resolver ax 2 + bx + c = 0