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METODOS DE INTERPOLACIÓN. Introducción: Se trata de obtener un polinomio (polinomio de interpolación) que cumpla: f(x )≈ p(x). en una serie de n puntos.

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1 METODOS DE INTERPOLACIÓN

2 Introducción: Se trata de obtener un polinomio (polinomio de interpolación) que cumpla: f(x )≈ p(x). en una serie de n puntos x 0, x 1, …, x n.

3 Dos casos típicos: 1) Los datos x 0, x 1, …, x n, se han obtenido experimentalmente. 2) Una función complicada f(x) la aproximamos a un polinomio. En ambos casos hallamos el polinomio de interpolación p(x). Métodos de hallar el polinomio de interpolación p(x): * Método de Lagrange * Método de Newton

4 G1. Polinomio de interpolación de Lagrange Sea una función f(x), de tal manera que conozcamos su valor en cada uno de n+1 puntos: f(x 0 ), f(x 1 ), …, f(x n ). 1º. Obtenemos los “ multiplicadores o coeficientes de Lagrange”): Son n+1 coeficientes : con k=0, 1, 2, …, n. i = 0, 1, 2, …, n k = 0, 1, 2, …, n

5 Propiedad de los coeficientes L k (x): El coeficiente L k (x) se anula en cada punto x i, excepto en el x k que tiene el valor 1 (valor máximo). Ejemplo : Supongamos como soporte los seis puntos siguientes, x 0 = 1, x 1 = 3, x 2 = 4, x 3 = 6, x 4 = 8, x 5 = 9.

6 El polinomio de interpolación deLagrange se obtiene:

7 EJEMPLO: Sea la función f(x)=e x. Supongamos conocido el valor que toma esta función en los cuatro puntos: x 0 =2, x 1 =2.5, x 2 =3, x 3 =4, es decir: f(x 0 ) = 7.3890, f(x 1 ) = 12.1825, f(x 2 ) = 20.0855, f(x 3 ) = 54.5980 Hallemos el polinomio de interpolación de Lagrange:

8 El polinomio de interpolación de Lagrange es: p(x) = f(x 0 ) L 0 (x) + f(x 1 ) L 1 (x) + f(x 2 ) L 2 (x) + f(x 3 ) L 3 (x) p(x) = 3.12601 x 3 – 17.2259 x 2 + 39.432 x – 27.5792

9 G2. Polinomio de interpolación de Newton. La fórmula de interpolación de Newton viene dada por: Siendo las llamadas diferencias divididas de f para los x 0, x 1, …, x n. En el caso de 4 puntos

10 Algunos ejemplos: * *

11 El polinomio de interpolación de Newton:

12 Ejemplo: Vamos a obtener el polinomio de interpolación para la función f(x) = e x, en los puntos {2, 2.5, 3, 4}, pero en esta ocasión por el método de Newton. p(x) = 7.38906 + 9.58688 (x – 2) + 6.21912 (x – 2) (x – 2.5) + + 3.1260 (x – 2) (x – 2.5) (x – 3) p(x) = 3.126 x 3 – 17.2259 x 2 + 39.4318 x – 27.5791

13 G2. Método de los Mínimos Cuadrados (Cuadratura Gaussiana) Supongamos que al realizar una serie de mediciones de dos variables (x, y), se ha obtenido una distribución de pares de valores o puntos: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), …, (x i, y i ), …, (x n, y n ). El método de los mínimos cuadrados busca una curva, como se indica en la gráfica, de tal manera que se minimice la suma de los cuadrados de los errores, e i, cometidos al sustituir los puntos por la ordenada y(x i ). y = ax m + bx m-1 + …+ c

14 Matemáticamente equivale a un problema de hallar un mínimo para una función de m+1 variables: f(a, b, …, c) EJEMPLO: Apliquemos el método para el caso de un polinomio de grado 2 (función polinómica), es decir, mediante una parábola: y = ax 2 + bx+ c Si observamos la figura anterior, tenemos: e i = ax i 2 + bx i + c – y i → e i 2 = (ax i 2 + bx i + c – y i ) 2. Por tanto la suma de los cuadrados de los errores es:

15 Se trata, pues, de minimizar esta función de tres variables, f(a, b, c). Las condiciones de extremo se dan allí donde se anulan las derivadas primeras de f (x): Condiciones de mínimo:

16 Ejemplo: Hay que hallar un polinomio de interpolación (de grado 2) para la tabla de datos: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3. y 1 = 3, y 2 = 4, y 3 = 6. Solución: O sea, Soluc.: a = 5, b= -18.5, c = 18 Polinomio de intepolación: p(x) = 5 x 2 – 18.5 x + 18

17 Spline (“Special Line”) cúbica Si como polinomio interpolatorio tomamos un polinomio de grado 3: P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, recibe el nombre de “Spline”.

18 Interpolación de datos 1-D con MATLAB. >> yi = interp1(x, y, xi, método); >> plot(x, y, 'o', xi, yi); Sean conocidos una tabla de datos: x = [1, 1.2, 1.3, 1.5, …] y = [4.254, 3.097, 5.671, …] Métodos. - ‘nearest’ - ‘linear’ (por defecto) - ‘spline’ Cubic spline interpola. - ‘cubic’

19 Ejemplo 1: >> x = 0:10; >> y = exp(x); >> xi = 0:0.2:10; >> yi = interp1(x, y, xi); >> plot(x, y, 'o‘, xi, yi);

20 Ejemplo 2: Hay que interpolar mediante ‘spline’ los datos de la tabla siguiente: x 2 2.1 2.6 3 3.2 3.7 4 4.3 y 5 5.3 5.6 5.4 4.9 4.5 3.8 3.3 >> tab = [2 2.1 2.6 3 3.2 3.7 4 4.3; 5 5.3 5.6 5.4 4.9 4.5 3.8 3.3] >> x = tab(1, :); y = tab(2, :); >> xi = 2:0.25:4.5; >> yi = interp1(x, y, xi, 'spline'); >> plot(x, y, 'o', xi, yi)

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22 Ejemplo 3: Tenemos dos vectores con los censos (por decadas) en el siglo XX, en millones de personas: >> t = 1900:10:1990; >> p = [75.995 91.972 105.711 123.203 131.669... 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633]; Por interpolación podemos estimar la población en cualquier año: >> t = 1900:10:1990; >> p = [75.995 91.972 105.711 123.203 131.669... 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633]; >> interp1(t, p, 1975) ans = 214.8585

23 >> t = 1900:10:1990; >> p = [75.995 91.972 105.711 123.203 131.669... 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633]; >> x = 1900:1:2000; >> y = interp1(t, p, x, 'spline'); plot(t,p,'o',x,y) Podemos representar la población anual:

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