CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Introducción Límites y Continuidad Diferenciabilidad Derivadas parciales Diferencial de una función Diferencial de la función compuesta Derivadas direccionales y gradiente Aplicaciones de la derivación Función implícita e inversa Extremos de funciones
y x Derivación: Variación de la función cuando varía la variable ( 𝑥 0 +Dx , f( 𝑥 0 +Dx)) f( 𝑥 0 +Dx)-f( 𝑥 0 ) ( 𝑥 0 , f( 𝑥 0 )) Dx x
Diferenciabilidad: Derivadas según un vector
Diferenciabilidad: Derivadas direccionales
Fijamos el valor de y y observamos el cambio de la función al variar 𝑥.
Calcular las derivadas parciales de la función: 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 =𝑥 3 𝑦+5 𝑦 2 sin 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥𝑦 𝑧 3 𝜕𝑓 𝜕𝑥 =3 𝑥 2 𝑦+5 𝑦 2 𝑧 cos 𝑥𝑧 −𝑦 𝑧 3 𝑒 𝑥𝑦 𝑧 3 𝜕𝑓 𝜕𝑦 =𝑥 3 +10𝑦sin 𝑥𝑧 −𝑥 𝑧 3 𝑒 𝑥𝑦 𝑧 3 𝜕𝑓 𝜕𝑧 = 5𝑦 2 𝑧cos 𝑥𝑧 −3𝑥𝑦 𝑧 2 𝑒 𝑥𝑦 𝑧 3
Diferenciabilidad: Interpretación de las derivadas parciales
Relación continuidad-derivadas parciales No necesariamente es derivable Continua en x=0 La recta tangente en x=0 es vertical. Por tanto, f no es derivable en x=0
Ejemplo de una función continua en (0,0) que no es derivable en (0,0).
Así que la función no es continua en (0,0) y las derivadas parciales existen.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Introducción Límites y Continuidad Diferenciabilidad Derivadas parciales Diferencial de una función Diferencial de la función compuesta Derivadas direccionales y gradiente Aplicaciones de la derivación Función implícita e inversa Extremos de funciones
diferenciable ≡ derivable Diferenciabilidad En la recta real: diferenciable ≡ derivable
Diferenciabilidad: Significado geométrico
Plano tangente 𝑥 0
Diferenciabilidad: Condiciones necesarias y suficientes
NO ES DIFERENCIABLE
Condiciones necesarias y suficientes Diferenciabilidad: Condiciones necesarias y suficientes CONDICION SUFICIENTE CONDICION NECESARIA es diferenciable en y es continua en son continuas en y no es o no es continua en o no es continua en diferenciable en o