CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Presentación del tema: "CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES"— Transcripción de la presentación:

1 CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Introducción Límites y Continuidad Diferenciabilidad Derivadas parciales Diferencial de una función Diferencial de la función compuesta Derivadas direccionales y gradiente Derivadas y diferenciales de orden superior Aplicaciones de la derivación Función implícita e inversa Extremos de funciones 1

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4 Repetimos

5 Diferenciabilidad: Diferencial de la función compuesta

6 Expresamos z en función de t y derivamos respecto a t.
Usamos la regla de la cadena.

7 𝑓 𝑡 =( 𝑓 1 𝑡 , 𝑓 2 𝑡 ) ℝ 2 ℝ 𝑓 𝑔 𝑔∘𝑓 Veamos el Caso 2...

8 𝑓 ℝ 2 𝑔 𝐺 ℝ Expresamos z en función de (x,y)
Usamos la regla de la cadena. ℝ 2 ℝ 𝑓 𝑔 𝐺

9 𝑧=𝑧 𝑥,𝑦 ;𝑢=𝑢 𝑥,𝑦 ,𝑣=𝑣 𝑥,𝑦 ;𝑧=𝑧(𝑢,𝑣)

10 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑧 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑥
𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑧 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑧 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦 Para usar el árbol para calcular, por ejemplo 𝜕𝑧 𝜕𝑥 , se empieza por la parte inferior y para cada rama que termine en x, nos vamos moviendo hacia arriba hasta llegar a la z, multiplicando las derivadas que vamos encontrando por la rama; una vez hecho esto para cada rama que termina en x, se suma el resultado de cada rama y se obtiene el resultado final.

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13 𝑧=𝑧(𝑢,𝑣);𝑢=𝑢 𝑥,𝑦 ,𝑣=𝑣 𝑥,𝑦

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15 𝐹 𝑥,𝑦 =𝑓 𝑥 2 − 𝑦 2 ,𝑥𝑦 =𝑓(𝑢,𝑣)

16 Por la regla de invarianza tenemos que:
𝐹 𝑥,𝑦 =𝑓 𝑥 2 − 𝑦 2 ,𝑥𝑦 =𝑓(𝑢,𝑣)

17 𝐺 𝑥 1 ,…, 𝑥 𝑝 =𝑔 𝑓 1 𝑥 1 ,…, 𝑥 𝑝 ,…, 𝑓 𝑞 𝑥 1 ,…, 𝑥 𝑝 ℝ 𝑞 ℝ 𝑝 ℝ 𝑓 𝑔 𝐺

18 Antes solo teníamos: 𝐺 𝑖 𝑥 1 ,…, 𝑥 𝑝 = 𝑔 𝑖 𝑓 1 𝑥 1 ,…, 𝑥 𝑝 ,…, 𝑓 𝑞 𝑥 1 ,…, 𝑥 𝑝 𝑖=1,…,𝑘 ℝ 𝑞 ℝ 𝑝 ℝ 𝑘 𝑓 𝑔 𝐺

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25 Diferenciabilidad: Cambio de variables

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31 CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Introducción Límites y Continuidad Diferenciabilidad Derivadas parciales Diferencial de una función Diferencial de la función compuesta Derivadas direccionales y gradiente Derivadas y diferenciales de orden superior Aplicaciones de la derivación Función implícita e inversa Extremos de funciones 31

32 Diferenciabilidad: Diferencial de las funciones vectoriales

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37 Ejemplo 1  Calcular las derivadas segundas de                                             
                                                                          

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41 Teorema de Schwarz

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44 Derivadas sucesivas según vectores

45 Diferencial segunda

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47 Derivadas y diferenciales de orden superior

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52 Diferenciabilidad: Serie de Taylor

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70 Diferenciabilidad: Equivalencias

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73 Derivadas y diferenciales de orden superior de la función compuesta
ℝ 𝑞 ℝ 𝑝 𝑓 𝑔 𝐺 ℝ 𝑘

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75 ℝ 2 𝑓 𝑔 𝐺 ℝ

76 ℝ 2 𝑓 𝑔 𝐺 ℝ

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78 Regla de la cadena para las derivadas segundas
ℝ 2 𝑓 𝑔 𝐺 ℝ Regla de la cadena para las derivadas segundas Caso 𝐺=𝑔∘𝑓: ℝ 2 𝑓 ℝ 2 𝑔 ℝ

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80 ℝ 2 𝑓 𝑔 𝐺 ℝ

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