LÍMITE Y CONTINUIDAD U.D. 4 * 2º Angel Prieto Benito

Presentación del tema: "LÍMITE Y CONTINUIDAD U.D. 4 * 2º Angel Prieto Benito"— Transcripción de la presentación:

1 LÍMITE Y CONTINUIDAD U.D. 4 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito
Matemáticas 2º Bach. C.T.

2 LÍMITES EN UN PUNTO Y EN EL INFINITO
U.D * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

3 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LIMITE de una función f en un punto x=a, cuando x tiende a “a” es el valor al que se aproximan las imágenes de la función cuando x se aproxima al valor “a” lím f(x) xa Una función f tiene límite L en el punto xo si para cualquier sucesión de valores de x que tienda a xo, la sucesión de sus correspondientes imágenes f(x) tiende a L, y se expresa: lím f(x) = L xxo EJEMPLO: lím x2 = = 4 x2 Sucesión de x : 1’9, 1’99, 1’999, … Sucesión de las correspondientes imágenes: 3’96, 3’98, 3’99, … @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

4 FUNCIONES SEGÚN EL LÍMITE
Una función que tiene límite se llama función CONVERGENTE. Una función que no tiene límite se llama función DIVERGENTE. Nota: No se considera válido como límite el +/- oo. Una función que presenta dos límites diferentes se llama función OSCILANTE. EJEMPLOS: lím (3.x2 +1) / x2 = 3  FUNCIÓN CONVERGENTE EN EL oo xoo lím e 2 / (x-1) = e 2 / 0 = e 00 = oo  FUNCIÓN DIVERGENTE EN x=1 x1 lím (- 1)n = +/- 1  FUNCIÓN OSCILANTE, donde Domf(x) = N noo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

5 PROPIEDADES OPERATIVAS
a) Si existe límite, éste debe ser único. b) El límite de una suma/resta de funciones es la suma/resta de los límites: lím (f(x) +/- g(x)) = lím f(x) +/- lím g(x) xa xa xa d) El límite de un producto de funciones es el producto de los límites: lím (f(x) . g(x)) = lím f(x) . lím g(x) xa xa xa e) El límite de una división de funciones es la división de los límites: lím (f(x) / g(x)) = lím f(x) / lím g(x) xa xa xa f) El límite de una potencia es la potencia de los limites : g(x) lím g(x) lím (f(x)) = (lím f(x ) xa xa xa g) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite: lím Log f(x) = Log lím f(x) xa b b xa @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

6 LÍMITES LATERALES En un límite vemos que x puede tender al valor de “a” tomando valores tanto por su derecha como por su izquierda. Por ejemplo, puede tender a 2 tomando las siguientes sucesiones de números: 2’1, 2’01, 2’001,2’0001, 2’00001, … 1’9, 1’99, 1’999, 1’9999, 1’99999, … Se hace preciso distinguir ambos límites. LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = L1 xxo+ LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = L2 xxo-- Una función f tiene límite en un punto xo si sus límites laterales en dicho punto existen y coinciden. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

7 LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO
Si representamos la función y = x /(x – 3) vemos que cuando x vale 3 , el valor de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto xo = 3. Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de xo = 3. x lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = + oo x3+ x pues x vale algo más de 3. lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = - oo x x pues x vale algo menos de 3. Y 1 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

8 Y -2 0 2 x Otro ejemplo: Si representamos la función y = x / ( x2 - 4)
vemos que cuando x vale 2 ó -2 , el valor de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x1= 2 y otra en x2= - 2. x lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = = + oo x2+ x pues x vale algo más de 2 y x2 > 4 x lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = - oo x x pues x vale algo menos de 2 y x2 < 4 x lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = = + oo x x pues x vale algo más de – 2 y x2 < 4 x lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = - oo x x pues x vale algo menos de – 2 y x2 > 4 Y x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

9 LIMITES EN EL INFINITO LIMITES EN EL INFINITO
El límite de una función f, cuando x tiendo a ± oo, es L si para cualquier sucesión de valores de x que tienda a 00, el límite de la sucesión de las correspondientes imágenes es L. lím f(x) = L x ± oo En caso de existir límite en el infinito decimos que f presenta una asíntota horizontal. Ejemplo: y = x/( x-3) del ejemplo anterior Para x = 1000  y = 1000/997 = 1,003 Para x=10000  y = 10000/9997 = 1,0003 Para x =  y = 1,00003 Está claro que por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco y además se acerca a y=1, aunque nunca llega. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

10 ASÍNTOTAS VERTICALES ASÍNTOTAS VERTICALES
La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si: Lím f(x) = ± oo x a Pueden ser asíntotas verticales todas las rectas x=a, donde “a” no forma parte del dominio de las funciones racionales. EJEMPLO_1 Sea la función f(x) = 3 / (x – 2) En x = 2 la función no existe. Lím f(x) = Lím ( 3 / (x – 2) = 3 / (2-2) = 3 / 0 = oo x x  2 x = 2 es una Asíntota Vertical. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

11 ASÍNTOTAS HORIZONTALES
La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si: Lím f(x) = b x ± oo En la práctica si una función presenta asíntotas verticales y asíntotas horizontales, podemos descartar en la mayoría de los casos que presente asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función f(x) = 1 / x Lím f(x) = Lím 1 / x = 1 / oo = 0 x oo La recta y = 0 es una Asíntota Horizontal. La función f(x) = k / (x – m) , para cualquier valor real de k y de m, tendría un comportamiento similar a la del ejemplo cuando x  ± oo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

12 ASÍNTOTAS OBLICUAS ASÍNTOTAS OBLICUAS
La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función f si: f(x) Lím = m y Lím [ f(x) – m.x ] = n x ± oo x x± oo En la práctica, siempre que una función racional no presente asíntotas horizontales debemos suponer que existen asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función: f(x) = (x2 – 3) / x f(x) x2– 3 m = Lím = Lím = 1 ; n = Lím [ f(x) – m.x ] = 0 x oo x x oo x xoo La recta y = 1.x + 0  y = x es una asíntota oblicua. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

13 Límite por la derecha de 0: x2 – 3 – 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo
Y 1 Gráfica Ejemplo 1 x2 – 3 f(x) = x Límite por la derecha de 0: x2 – – 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = - oo x x pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = + oo x x x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

14 (Variación del Ejemplo 1) x2 + 3 f(x) = -------- x
Gráfica Ejemplo 2 (Variación del Ejemplo 1) x2 + 3 f(x) = x Límite por la derecha de 0: x lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = + oo x x pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: x lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = - oo x x Y Mín x Max @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.