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Publicada porMaría Rosario Ojeda Venegas Modificado hace 5 años
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Introducción Límites y Continuidad Diferenciabilidad Derivadas parciales Diferencial de una función Diferencial de la función compuesta Derivadas direccionales y gradiente Aplicaciones de la derivación Función implícita e inversa Extremos de funciones
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y x Derivación: Variación de la función cuando varía la variable
( 𝑥 0 +Dx , f( 𝑥 0 +Dx)) La derivada de una función de una variable mide la tasa instantánea de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. f( 𝑥 0 +Dx)-f( 𝑥 0 ) ( 𝑥 0 , f( 𝑥 0 )) Dx x
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Diferenciabilidad: Derivadas según un vector
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Fijamos el valor de y y observamos el cambio de la función al variar 𝑥.
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Calcular las derivadas parciales de la función:
𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 =𝑥 3 𝑦+5 𝑦 2 sin 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥𝑦 𝑧 3 𝜕𝑓 𝜕𝑥 =3 𝑥 2 𝑦+5 𝑦 2 𝑧 cos 𝑥𝑧 −𝑦 𝑧 3 𝑒 𝑥𝑦 𝑧 3 𝜕𝑓 𝜕𝑦 =𝑥 3 +10𝑦sin 𝑥𝑧 −𝑥 𝑧 3 𝑒 𝑥𝑦 𝑧 3 𝜕𝑓 𝜕𝑧 = 5𝑦 2 𝑧cos 𝑥𝑧 −3𝑥𝑦 𝑧 2 𝑒 𝑥𝑦 𝑧 3
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Diferenciabilidad: Interpretación de las derivadas parciales
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Relación continuidad-derivadas parciales
No necesariamente es derivable Continua en x=0 La recta tangente en x=0 es vertical. Por tanto, f no es derivable en x=0
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Ejemplo de una función continua en (0,0)
que no es derivable en (0,0).
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Así que la función no es continua en (0,0) y las derivadas parciales existen.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Introducción Límites y Continuidad Diferenciabilidad Derivadas parciales Diferencial de una función Diferencial de la función compuesta Derivadas direccionales y gradiente Aplicaciones de la derivación Función implícita e inversa Extremos de funciones
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Diferenciabilidad
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diferenciable ≡ derivable
Diferenciabilidad En la recta real: diferenciable ≡ derivable
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Diferenciabilidad: Significado geométrico
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Plano tangente 𝑥 0
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Diferenciabilidad: Condiciones necesarias y suficientes
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NO ES DIFERENCIABLE
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Condiciones necesarias y suficientes
Diferenciabilidad: Condiciones necesarias y suficientes CONDICION SUFICIENTE CONDICION NECESARIA es diferenciable en y es continua en son continuas en y no es o no es continua en o no es continua en diferenciable en o
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Introducción Límites y Continuidad Diferenciabilidad Derivadas parciales Diferencial de una función Diferencial de la función compuesta Derivadas direccionales y gradiente Derivadas y diferenciales de orden superior Aplicaciones de la derivación Función implícita e inversa Extremos de funciones 54
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Vector gradiente
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Si disponemos de las derivadas parciales podemos calcular derivadas direccionales (derivadas según vectores unitarios) simplemente multiplicando el gradiente por el vector unitario.
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Vector gradiente
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