CÁLCULO 3 Departamento de Ciencias Diferencial Total; Regla de la Cadena

¿Qué es un acimut?  ¿En qué plano se calculan los acimut?  ¿Qué relación tiene el plano acimutal con la superficie terrestre en un determinado punto de la tierra?

Responda las siguientes preguntas:  ¿Qué relación existe entre el plano tangente y la superficie, localmente?  ¿qué contenido matemático nos permite aproximar el cambio que experimenta una función, localmente?

Resuelva el siguiente problema de aplicación: El sistema cardiovascular humano es similar a circuitos eléctricos en serie y en paralelo. Por ejemplo, cuando la sangre circula a través de dos resistencias en paralelo, como se muestra en la FIGURA entonces la resistencia equivalente R de la red es Si los errores porcentuales en la medición de R 1 y R 2 son ±0.2 % y ±0.6 %, respectivamente, encuentre el error máximo aproximado en R.

LOGRO DE SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a la gestión e ingeniería a partir de la regla de la cadena usando el teorema de la función implica así como la derivada como variación total, e interpretando su resultado, de forma coherente.

TEMARIO Incrementos y Diferencial Total Regla de la cadena para funciones de varias variables. Diferenciación parcial Implícita

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES INCREMENTOS Y DIFERENCIALES Para funciones de una variable y=f(x), se define: Gráficamente El incremento de y como:El diferencial de y como: y representa el cambio en la altura de la curva y=f (x). y representa la variación en y a lo largo de la recta tangente cuando x varía en una cantidad dx = ∆x. Observe que ∆y – dy se aproxima a cero más rápidamente que ∆x, ya que: y al hacer ∆x →0, tenemos que ε →0 Por tanto ∆y = dy + ε ∆x donde ε →0 conforme ∆x →0

DIFERENCIAL TOTAL Si z = f (x, y) y ∆x y ∆y son los incrementos en x y en y, las diferenciales de las variables independientes x y y son dx= ∆x y dy= ∆y Y la diferencial total de la variable dependiente z es: Ahora consideremos una función de dos variables z = f (x, y) Si ∆x y ∆y son los incrementos en x y y, entonces el correspondiente incremento en z es: Con lo cual ∆z representa el cambio en el valor de f cuando (x,y) cambia a (x+ ∆x, y+ ∆y ). INCREMENTOS Y DIFERENCIA TOTAL Esta definición puede extenderse a una función de tres o más variables

Hallar la diferencial total de cada función. a) z = f (x,y) = 2x sen y – 3x 2 y 2 b) w = f(x,y,z) = x 2 +y 2 + z 2 Ejemplo 1 Solución:

DIFERENCIABILIDAD Una función f dada por z = f (x, y) es diferenciable en (x 0,y 0 ) si ∆z puede expresarse en la forma donde ε 1 y ε 2 →0 cuando (∆x, ∆y ) → (0,0). La función f es diferenciable en una región R si es diferenciable en todo punto de R. Observación: Esta definición afirma que el cambio real en z es aproximadamente igual a la diferencial total dz, cuando los incrementos ∆x y ∆y son pequeños, es decir,

S Si z = f (x, y) es diferenciable, el diferencial total df representa el incremento de f a lo largo del plano tangente a f en el punto (x, y). Sería como calcular con el plano tangente en vez de usar la superficie S. = En una variable, ∆y = f (x 0 +∆x) – f (x 0 ) se puede aproximar con el diferencial. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE : y INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE : dz y ∆z De manera similar, el cambio en f en dos variables es, ∆z = f (x 0 +∆x, y 0 +∆y ) – f (x 0, y 0 ) se puede aproximar con el diferencial total, df = f x (x 0, y 0 )dx + f y (x 0, y 0 )dy. Es decir, si f es diferenciable en (x 0, y 0 ) y si ∆x y ∆y son pequeños, entonces f se puede aproximar usando el plano tangente:

El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es ±0.1 mm. Las dimensiones de la caja son x =50 cm, y =20 cm y z = 15 cm, como se muestra en la figura. Utilizar dV para estimar el error propagado y el error relativo en el volumen calculado de la caja. Ejemplo 2: Análisis de errores El volumen de la caja está dado por V=xyz, y por tanto Solución Utilizando 0.1 mm = 0.01 cm, se tiene dx = dy = dz = ±0.01, y el error propagado es aproximadamente: Como el volumen medido es V=(20)(50)(15)= cm 3 el error relativo, ∆V/ V es aproximadamente:

REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES RE GLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE Sea w = f (x, y), donde f es una función derivable de x y y. Si x=g(t) y y = h(t), donde g y h son funciones derivables de t, entonces w es una función diferenciable de t, y

Sea z = x 2 +3y 2, donde x = e t y y = cos(t ), entonces Ejemplo 3 z z x x y y t t t t

RE GLA DE LA CADENA: DOS VARIABLES INDEPENDIENTES Sea w = f (x, y), donde f es una función diferenciable de x y y. Si x=g(t,s) y y = h(t,s) son tales que las derivadas parciales de primer orden ∂x/∂s, ∂x/∂t, ∂y/∂s y ∂y/∂t existen, entonces ∂w/∂s y ∂w/∂t existen y están dadas por y

Sea f una función derivable y z = f (x,y), con x= r.cos(θ) y y= r.sen(θ), entonces Ejemplo 4 z z x x y y θ θ r r r r θ θ

Sea z definida de manera implícita por F(x, y, z) = xyz +x + y =0. Entonces: Ejemplo 5 DERIVACIÓN PARCIAL IMPLÍCITA  Si F(x,y) = 0 define a y implícitamente como función derivable de x, entonces:  Si F(x,y,z) = 0 define a z implícitamente como función diferenciable de x e y, entonces:

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE APLICACIÓ SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE APLICACIÓN El sistema cardiovascular humano es similar a circuitos eléctricos en serie y en paralelo. Por ejemplo, cuando la sangre circula a través de dos resistencias en paralelo, como se muestra en la FIGURA entonces la resistencia equivalente R de la red es Si los errores porcentuales en la medición de R 1 y R 2 son ±0.2 % y ±0.6 %, respectivamente, encuentre el error máximo aproximado en R.

REFLEXIONANDO SOBRE LO APRENDIDO ¿Qué tipo de problemas cotidianos se podrían resolver aplicando las regla de la cadena y el diferencial total? ¿Qué dificultades se presentaron en la resolución de ejercicios y problemas? ¿De qué manera resolví las dificultades encontradas?, ¿Qué he aprendido en esta sesión?

# CÓDIGOAUTORTÍTULO THOM 2007 THOMAS Calculo en Varias Variables CLA PITA 2009 CLAUDIO PITA. Cálculo Vectorial LARS 2008 LARSON, RON Cálculo II BIBLIOGRAFÍA