Aproximación a f(x)=sen x

Presentación del tema: "Aproximación a f(x)=sen x"— Transcripción de la presentación:

1 Aproximación a f(x)=sen x

2 Conferencia No. 2 Sumario Series trigonométricas de Fourier.
Coeficientes de Fourier. Desarrollos de Fourier de funciones periódicas.

3 Sumario 4. Análisis de la convergencia. Condiciones de Dirichlet.
5. Gráfica de la función hacia la cual converge el desarrollo.

4 OBJETIVOS Determinar un desarrollo trigonométrico de Fourier de
una función periódica, dada la expresión que la define.

5 OBJETIVOS Analizar la convergencia de la
serie obtenida hacia la función que la generó. Trazar la gráfica de la función hacia la cual converge el desarrollo.

6 NOTICIA HISTÓRICA ¿Sabes quién fue Joseph Fourier?

7 JOSEPH FOURIER 1768 – 1830 Destacado ingeniero eléctrico francés, quien en la segunda mitad del siglo XVIII arribó a este tipo de series funcionales que honran su nombre. Ya anteriormente los coeficientes de Fourier, habían sido descubiertos y utilizados por Leonard EULER

8 LEONARD EULER 1707-1783 Matemático suizo, nacido en Basilea.
Hizo contribuciones a casi todas las ramas de las matemáticas y la aplicación a problemas físicos. Fue alumno de Bernoulli. Su obra copiosísima a pesar de estar ciego en los últimos 17 años de su vida.

9 DEFINICIÓN + a1 cos x + b1 sen x + + a2 cos 2x + b2 sen 2x +…
Se llama SERIE TRIGONOMÉTRICA a toda serie en la forma general: + a1 cos x + b1 sen x + + a2 cos 2x + b2 sen 2x +… ……….. ……………… +an cos nx + bn sen nx +…

10 donde , an , bn (n=1,2,3,....) son números reales llamados COEFICIENTES DE LA SERIE TRIGONOMÉTRICA.

11 algún intervalo [c;c+T] y periódica con T ≠ 0, ENTONCES
OBSERVACIÓN IMPORTANTE Si f es seccionalmente continua en algún intervalo [c;c+T] y periódica con T ≠ 0, ENTONCES

12 el valor de la integral:
es independiente del valor de “c” (REAL) seleccionado.

13 continua en y f periódica con T 0. ENTONCES
TEOREMA Sea f una función seccionalmente continua en y f periódica con T 0. ENTONCES

14 ~

15

16 TEOREMA Si f es par en el intervalo [-T/2,T/2] entonces f(x) ~ con bn = 0.

17

18 TEOREMA Si f es IMPAR en el intervalo [-T/2,T/2] entonces f(x) ~
con a0/2 =0 y an = 0.

19 EN ESTE CASO SOLO HAY QUE CALCULAR:

20 Es menester apreciar que: a) Cuando la función es PAR
OBSERVACIÓN Es menester apreciar que: a) Cuando la función es PAR los desarrollos de Fourier f son en COSENOS SOLAMENTE

21 cuando f es IMPAR vienen dados en SENOS SOLAMENTE.
Y… cuando f es IMPAR vienen dados en SENOS SOLAMENTE. OBSERVACIÓN

22 CONDICIONES DE DIRICHLET
TEOREMA CONDICIONES DE DIRICHLET Sean f(x) y f ´(x) funciones a) seccionalmente continuas en cc+T b) f(x) periódica con período T0, ENTONCES

23 f converge hacia: a) f(x0), para cada x0 punto de continuidad de f
f converge hacia: a) f(x0), para cada x punto de continuidad de f b) ½ [f(x0+) + f(x0-)], si x0 es un punto de DISCONTINUIDAD.

24 Por tanto, para todos los “x” en
que f es continua se cumple que:

25 EJEMPLO Obtener un desarrollo de Fourier
para la función f definida por: tal que f(x)=f(x+2π).

26 APROXIMACIÓN DE LA FUNCION y = f(x) MEDIANTE ARMÓNICOS DE FOURIER

27 Primer armónico Armónico fundamental

28 Tercer armónico

29 Quinto armónico

30 TAREA Obtener un desarrollo de Fourier de f definida por:

31 ENTÉRESE

32 PARTICIPE EN LAS PREGUNTAS DE ESTA QUINCENA... ENVIE AHORA MISMO SUS RESPUESTAS A

33 Mostrar que la serie de Fourier de:
viene dada por:

34 BIBLIOGRAFÍA Krasnov, M (1990) Curso de
Matemáticas Superiores para Ingeniero, Tomo II, Pág , Moscú. Castillo, A y otros, (1997). Series. Tomo II , Pág. 282 a 315. ISPJAE. Cuba. Piskunov y otros. (1969). Cálculo Diferencial e integral. Tomo II, Pág. 323 a 347.