Unidad 3: TRAZADO DE CURVAS Clase 5.1 Extremos relativos

Presentación del tema: "Unidad 3: TRAZADO DE CURVAS Clase 5.1 Extremos relativos"— Transcripción de la presentación:

1 Unidad 3: TRAZADO DE CURVAS Clase 5.1 Extremos relativos
Cálculo MA459 Unidad 3: TRAZADO DE CURVAS Clase 5.1 Extremos relativos CÁLCULO CÁLCULO

2 ¡Reflexión! La figura muestra la gráfica del Ingreso Marginal (Im) en soles por cientos de unidades de las ventas de una empresa. ¿Cuántas unidades debe vender para optimizar el ingreso? q Im CÁLCULO

3 Logro: Al finalizar la sesión, el estudiante analiza el comportamiento de la gráfica de una función (monotonía y extremos relativos) utilizando la primera derivada. CÁLCULO

4 Funciones crecientes y decrecientes
Sea f una función e I un intervalo. Se dice que f es creciente en I, si para dos números cualesquiera x1, x2 en I, donde x1< x2 , se cumple que f(x1) < f(x2). Se dice que f es decreciente en I, si para dos números cualesquiera x1, x2 en I, donde x1< x2 , se cumple que f(x1) > f(x2). CÁLCULO CÁLCULO 4

5 Criterio para función creciente y decreciente
Sea f diferenciable en el intervalo ]a; b[. Si f ´(x) > 0 para todo x en ]a; b[, entonces f es creciente en ]a; b[. Si f ´(x) < 0 para todo x en ]a; b[, entonces f es decreciente en ]a; b[. Por ejemplo, consideremos la función f(x) = (x - 1)2. Al derivar tenemos: f ´(x) = 2(x - 1). f ´(x) > 0 para x >1 , luego f es creciente en ]1; +[ y f ´(x) < 0 para x < 1, entonces f es decreciente en ]-; 1[ CÁLCULO CÁLCULO 5

6 Extremos relativos de una función
Una función f tiene un máximo relativo en x0, si existe un intervalo abierto que contenga a x0 sobre el cual f (x0) > f (x) para todo x en el intervalo. El máximo relativo es f (x0). Una función f tiene un mínimo relativo en x0, si existe un intervalo abierto que contenga a x0 sobre el cual f (x0) < f (x) para todo x en el intervalo. El mínimo relativo es f (x0). b a c d e x y CÁLCULO CÁLCULO 6

7 Extremos absolutos de una función
Una función f tiene un máximo absoluto en x0, si f (x0) > f (x) para todo x en el dominio de f. El máximo absoluto es f (x0). Una función f tiene un mínimo absoluto en x0, si f (x0) < f (x) para todo x en el dominio de f. El mínimo absoluto es f (x0). b a c d e x y CÁLCULO CÁLCULO 7

8 Extremos relativos b a c d e x y Máximos relativos en: x = y x = e Mínimos relativos en: x = y x = b c Si f tiene un extremo relativo en x0, entonces f ´(x0) = 0 o f ´(x0) no existe. Lo contrario no sucede, es decir, que f ´(x0) = 0, no garantiza que f (x0) sea un extremo relativo. CÁLCULO CÁLCULO

9 Valor crítico y punto crítico
Si x0 está en el dominio de f y f ´(x0) = 0 o f ´(x0) no está definida, entonces x0 se denomina valor crítico de f. Si x0 es un valor crítico, entonces: el punto (x0; f (x0)) se denomina punto crítico. Por ejemplo, los valores y puntos críticos de: no existe en x = 0 x = -2 vc: x = -2, pc: (-2; -1) vc: x = 0, pc: (0; 0) CÁLCULO CÁLCULO 9

10 Criterio de la 1ra derivada para extremos relativos
Sea f continua en un intervalo abierto I y f diferenciable en I excepto posiblemente en el valor crítico x0  I. La función f tiene un máximo relativo en x0 si f (x) > 0 a la izquierda de x0 y f (x) < 0 a la derecha de x0. La función f tiene un mínimo relativo en x0 si f (x) < 0 a la izquierda de x0 y f (x) > 0 a la derecha de x0. CÁLCULO CÁLCULO

11 Ejemplo 1: Halle los valores extremos relativos de las funciones.
a. f(x) = x4 – 8x2 b. c. d. CÁLCULO CÁLCULO

12 Ejemplo 2: La figura muestra la gráfica de la derivada de una función. Indique los intervalos de crecimiento, decrecimiento y los valores en donde hay máximo y mínimo de la función. f´ CÁLCULO CÁLCULO

13 Ejemplo 3: La figura muestra la gráfica del Ingreso Marginal (Im) en soles por cientos de unidades de las ventas de una empresa. ¿Cuántas unidades debe vender para optimizar el ingreso? q Im CÁLCULO

14 Ejemplo 4: Trace la gráfica de una función que cumpla con las siguientes condiciones: Dominio: R f ´(0) = f ´(1) = f ´(2) = 0 f ´(x) < 0 cuando x < 0 y x >2 f ´(x) > 0 cuando 0 < x < 1 y 1 < x < 2 CÁLCULO CÁLCULO 14

15 Ejemplo 5: Trace la gráfica de una función que cumpla con las siguientes condiciones: Dominio: R - {4} f (0) =1; f (-3) = -2; f (2) = 3 f ´(0) = f ´(-3) = f ´(2) = 0 f ´(x) < 0 cuando x < -3 y 2< x <4 f ´(x) > 0 cuando -3 < x < 0, 0 < x < 2 y x > 4 CÁLCULO CÁLCULO 15