CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Presentación del tema: "CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES"— Transcripción de la presentación:

1 CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Introducción Límites y Continuidad Diferenciabilidad Derivadas parciales Diferencial de una función Diferencial de la función compuesta Derivadas direccionales y gradiente Aplicaciones de la derivación Función implícita e inversa Extremos de funciones

2 y x Derivación: Variación de la función cuando varía la variable
( 𝑥 0 +Dx , f( 𝑥 0 +Dx)) f( 𝑥 0 +Dx)-f( 𝑥 0 ) ( 𝑥 0 , f( 𝑥 0 )) Dx x

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4 Diferenciabilidad: Derivadas según un vector

5 Diferenciabilidad: Derivadas direccionales

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9 Fijamos el valor de y y observamos el cambio de la función al variar 𝑥.

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13 Calcular las derivadas parciales de la función:
𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 =𝑥 3 𝑦+5 𝑦 2 sin 𝑥𝑧 − 𝑒 𝑥𝑦 𝑧 3 𝜕𝑓 𝜕𝑥 =3 𝑥 2 𝑦+5 𝑦 2 𝑧 cos 𝑥𝑧 −𝑦 𝑧 3 𝑒 𝑥𝑦 𝑧 3 𝜕𝑓 𝜕𝑦 =𝑥 3 +10𝑦sin 𝑥𝑧 −𝑥 𝑧 3 𝑒 𝑥𝑦 𝑧 3 𝜕𝑓 𝜕𝑧 = 5𝑦 2 𝑧cos 𝑥𝑧 −3𝑥𝑦 𝑧 2 𝑒 𝑥𝑦 𝑧 3

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15 Diferenciabilidad: Interpretación de las derivadas parciales

16 Relación continuidad-derivadas parciales
No necesariamente es derivable Continua en x=0 La recta tangente en x=0 es vertical. Por tanto, f no es derivable en x=0

17 Ejemplo de una función continua en (0,0)
que no es derivable en (0,0).

18 Así que la función no es continua en (0,0) y las derivadas parciales existen.

19 CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Introducción Límites y Continuidad Diferenciabilidad Derivadas parciales Diferencial de una función Diferencial de la función compuesta Derivadas direccionales y gradiente Aplicaciones de la derivación Función implícita e inversa Extremos de funciones

20 diferenciable ≡ derivable
Diferenciabilidad En la recta real: diferenciable ≡ derivable

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22 Diferenciabilidad: Significado geométrico

23 Plano tangente 𝑥 0

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29 Diferenciabilidad: Condiciones necesarias y suficientes

30 NO ES DIFERENCIABLE

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32 Condiciones necesarias y suficientes
Diferenciabilidad: Condiciones necesarias y suficientes CONDICION SUFICIENTE CONDICION NECESARIA es diferenciable en y es continua en son continuas en y no es o no es continua en o no es continua en diferenciable en o

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