Operaciones con números enteros Z Rosemary Torrico Bascopé

Contenido Números primos y compuestos Introducción Conjuntos de números Propiedades de los Z respecto a la suma y multiplicación Divisores de un número Propiedades de la división de números enteros Divisibilidad Números primos y compuestos Descomposición de un número en sus factores primos.

Los números enteros Introducción Entre las necesidades de los antiguos primitivos que descubrieron los números naturales y las del hombre actual existen diferencias radicales. El hombre antiguo vivía sometido a la naturaleza El hombre de hoy en día vive gobernado por sus creaciones

Los números enteros El hombre descubrió que para medir ciertas magnitudes, es conveniente considerar su variación en un sentido y otro, por encima y por debajo de un origen prefijado. Por ejemplo: en los edificios se tienen pisos por encima y por debajo del nivel del suelo. Si los numeramos, el piso que se encuentra en el nivel del suelo sera el 0, el primero sobre este nivel sera 1, el segundo 2, etc. el primero debajo del nivel del suelo -1… Aplicaciones Temperatura Utilidades de una empresa Crecimiento de un país Altura

CONJUNTOS DE NÚMEROS …-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS CARDINALES NÚMEROS NATURALES …-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … NÚMEROS POSITIVOS NÚMEROS NEGATIVOS

Conjunto de Números Naturales N El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar. Se caracteriza porque: Tiene un número ilimitado de elementos Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor. El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).

Conjunto de los Números Cardinales N* = N 0 =  { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....} Los números cardinales expresan cantidad de personas, animales o cosas. Al Conjunto de los Números Naturales se le agrega el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales. 

Conjunto de los Números Enteros Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Con los números naturales no es posible realizar restas donde a un número menor hay que restarle uno mayor. En la vida cotidiana nos encontramos con operaciones de este tipo. Por ejemplo, se tiene la necesidad de representar: el dinero adeudado, temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

Conjunto Z como Recta numérica Enteros negativos Enteros positivos … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … Z- Z+ = N Z = Z-  0  Z+ Z = Enteros Z+ = Enteros positivos Z - = Enteros negativos N = Naturales

Números enteros Los números enteros pueden representarse en la recta de la siguiente manera: En esta representación se observa: Que los números naturales son mayores que los enteros negativos. Ejemplo: 3 > -3 tres es mayor que tres negativo Generalizando: si un número natural a es menor que otro b, entonces –a es mayor que –b. Ejemplo: 2 < 5  -2 >-5 Números positivos … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … Números negativos mayor menor

Conjunto de los Números Racionales Q  = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....} Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. En la práctica se utilizan número racional y fracción como sinónimos Q  =  {  a / b  tal que  a y b  Z; y  b  ≠  0 }

Conjunto de Números Irracionales (I = Q* ) Los números irracionales son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. Ejemplos:  las raíces inexactas, el número Pi, 1,4142135....etc

Propiedades de los números Z Conserva las propiedades de los números N y además tiene la existencia de un opuesto. Cualquier número entero tiene su opuesto, que sumando con él da 0. a + (-a) = 0 a – b = a + (-b)

Propiedades de los Z respecto a la suma y multiplicación Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) (a  b)  c = a  (b  c) Conmutativa a + b = b + a a  b = b  a Elemento neutro Es el 0, porque a + 0 = a Es el 1, porque a  1 = a Elemento simétrico El opuesto de a es –a a + (-a) = 0 No tiene Distributiva del producto respecto de la suma a  (b + c) = a  b + a  c

Para multiplicar enteros Se considera el signo por lo que es necesario conocer la regla de signos. Se utiliza la regla de signos: (+)  (+) = + (+)  (–) = – (–)  (+) = – (–)  (–) = + Se observa que: El producto de signos iguales es positivo (+) El producto de signos diferentes es negativo (–)

Expresiones con Signos de agrupación Si un signo de agrupación va precedido del signo menos, se lo puede eliminar de 2 maneras: Cambiando el signo de todos los sumandos que haya dentro. Ej. -2 + 8 – (4 -13 + 6) = -2 + 8 – 4 + 13 - 6 Efectuando previamente las operaciones que aparecen dentro del paréntesis. Ej. -2 + 8 – (4 - 13 + 6) = -2 + 8 – ( -3) = -2 + 8 + 3

Operaciones compuestas Las operaciones compuestas se realizan según el siguiente orden Paréntesis, si los hubiese Si aparecen varios, unos dentro de otros, se comienza efectuando los de dentro. Multiplicaciones y divisiones Sumas y restas Ej. Calcular: (-7)  [4  (3 - 8) – 5 (8 - 5) ] Solución: (-7)  [4  (3 - 8) – 5 (8 - 5) ] = (-7)  [4 ( -5) – 5 3 ] = = (-7)  [-20 – 15 ] = (-7)  [- 35 ] = +245

División de números Z Si a y b son dos enteros cualesquiera, b > 0, entonces existe un par único de enteros, q y r, tales que: donde . Si r = 0 decimos que “b divide a a ”, o que “la división es exacta”.

Términos de la división Dividendo 27 4 Divisor Residuo 3 6 Cociente La división es exacta si tiene residuo cero. La división es inexacta si tiene residuo diferente de cero.

División de números Z La regla de signos para la división es la misma que para la multiplicación. (+) / (+) = + (+) / (–) = – (–) / (+) = – (–) / (–) = + Ejemplos: -6 / 3 = -2 15 / -3 = -5 -8 / -4 = 2

Propiedades de la División de números enteros La división no es conmutativa Ej. 9 / 3 ≠ 3 / 9 es decir 9 dividido entre 3 es distinto de 3 dividido entre 9 La división no es asociativa. Ej. (32 / 4) / 2 ≠ 32 / (4 / 2) 8 / 2 32 / 2 4 ≠ 16 a / b ≠ b / a (a / b) / c ≠ a / (b / c)

Divisores de un número Si a y b son dos números naturales distintos de cero, se dice que a es divisor de b si existe un número natural c tal que: a  c = b Ejemplos: 3 es divisor de 12 porque: 3  4 = 12 5 es divisor de 75 porque: 5  15 = 75

Propiedades de la División de Números Enteros La división no es conmutativa Ej. 9 / 3 ≠ 3 / 9 2. La división no es asociativa. Ej. (32 / 4) / 2 ≠ 32 / (4 / 2) 8 / 2 32 / 2 4 ≠ 16 3. Todo número es divisor de si mismo a / b ≠ b / a (a / b) / c ≠ a / (b / c) a / a = 1

Propiedades de la División de Números Enteros 4. El número 1 es divisor de todo número natural 5. Si a es divisor de b entonces b no es divisor de a. 6. Si a es divisor de b y b es divisor de c entonces a es divisor de c. 7. Si un número divide a otros dos, también divide a su suma a / 1 = a b / a ≠ a / b b / a  c / b  c / a b / a  c / a  (b+c) / a

Divisibilidad El residuo de la división a entre b es cero. Ejemplos: 15 es divisible por 1, 3, 5 y 15 porque dividen de forma exacta a 15. Se dice que un número natural a es divisible por otro número natural b si el residuo de la división a entre b es cero.

Criterios de divisibilidad Divisible por 2 Un número es divisible por 2 cuando el número es par. Divisible por 3 Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 Divisible por 5 Un número es divisible por 2 cuando el dígito unidad de número es 5 ó 0. Divisible por 6 Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3. Divisible por 9 Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Divisible por 10 Un número es divisible por 10 cuando el dígito unidad de número es 0.

Números Primos Un número es primo, si y solo si tiene dos divisores, el mismo número y el 1. Ejemplo: 2, 3, 5, 11 son números primos Curiosidades Los números primos se utilizan en la codificación de mensajes secretos y en las telecomunicaciones. Todo número puede obtenerse a partir de la suma de números primos.

Números compuestos Un número es compuesto si y solo si tiene otros divisores distintos del mismo número y de 1. Ejemplo: 4, 6, 8, 10,12 son números compuestos 0 no es un número primo ni compuesto porque no tiene un número finito de divisores. 1 no es un número primo ni compuesto porque no tiene dos divisores distintos.

Ejercicio Calcular si el número 113 es un número primo. Sugerencia: dividir 113 con los números primos inferiores a él cuyo cuadrado no sea mayor al número Solución: El número cuyo cuadrado menor más próximo a 113 es 10, entonces basta con comprobar si 2, 3, 5, 7 son divisores de 113. 113 no es divisible por 2, 3, 5 tampoco por 7. Luego 113 es un número primo.

Descomposición de un número en sus factores primos Se puede descomponer un número compuesto como producto de sus factores primos de dos formas. Mediante un diagrama de árbol Aplicando criterios de divisibilidad Todo número compuesto se puede expresar como producto de números primos de una sola manera, excepto por el orden sus factores.

Descomposición de un número en sus factores primos Aplicando criterios de divisibilidad Escribir el número a la izquierda de una línea vertical y a la derecha menor número primo por el cual sea divisible dicho número. Escribir debajo del número propuesto el cociente entre el número dado y el divisor primo elegido Repetir el procedimiento hasta obtener el número 1 como cociente. 28 14 7 1 2

Diagrama de árbol Por cada número generamos 2 ramas que son la descomposición del número en 2 factores, continuamos así hasta obtener solo números primos. 28 2 14 7 Números compuestos 28 = 2 2 7 Números primos

Bibliografía Matemáticas B, Pedro Antonio Gutierrez Figueroa, Ed. La hoguera, 2001. Dominando las Matemáticas, AritmeticaII, L. Galdos,2005. Matemáticas 6, Ediciones Santillana, 2000