TEMA 1. NÚMEROS NATURALES

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1 TEMA 1. NÚMEROS NATURALES
Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el ser humano de contar lo que le rodea. El conjunto de los números naturales es ilimitado, es decir, no tiene fin, porque dado un número cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente sumándole una unidad a ese número. Los números naturales se pueden representar ordenados en una recta:

2 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Dados dos números naturales cualesquiera, siempre hay uno menor y otro mayor, salvo que sean iguales. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES La multiplicación es la expresión abreviada de una suma de varios sumandos iguales. Los términos de la multiplicación se denominan factores.El resultado final se llama producto.

3 La multiplicación cumple las siguientes propiedades
La multiplicación cumple las siguientes propiedades. -Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. 5.7= =35 -Asociativa: El orden en que agrupamos los factores no altera el producto. (4.7).5=4. (7.5) Elemento neutro o unidad: Es el 1, ya que cualquier número multiplicado por 1 es igual al mismo número. 13.1=13 Distributiva: El producto de un número por una suma o resta es igual a la suma o resta de los productos del número por cada término. 3.(2+5)= = =21

4 DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Dividir es repartir una cantidad en partes iguales. Los términos de la división se llaman dividendo, divisor, cociente y resto. Cuando el resto es cero, la división es exacta y se cumple: Dividendo D d Divisor Resto c Cociente D = d . c Si el resto no es cero, decimos que la división no es exacta. Dividendo d Divisor Resto c Cociente D . c + r r menor que d A esta igualdad se le llama prueba de la división.

5 POTENCIAS DE NÚMEROS NATURALES
Una potencia es una abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales: n a =a.a.a.a … n veces a es la base, el factor que se repite. n es el exponente, el número de veces que se repite la base.

6 OPERACIONES CON POTENCIAS
2 2·2 = se lee: “2 elevado a 2” o “2 al cuadrado”. 4·4·4= se lee: “4 elevado a 3” o “4 al cubo”. 3·3·3·3= se lee: “3 elevado a 4” o “3 a la cuarta”. 3 4 OPERACIONES CON POTENCIAS Las potencias cumplen una serie de propiedades, independientemente de cuál sea el valor de la base y el exponente. Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes. a · a = a m n m+n

7 Un apotencia de exponente 1 es igual a la base a = a.
Una potencia de exponente 0 es igual a a = 1. Para dividir dos potencias de la misma base, se deja la misma base y se restan los exponentes a : a = a 1 m n m-n Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes. (a ) = a m n m-n

8 La raíz cuadrada exacta de un número
-La potencia de una multiplicación es igual al producto de las potencias de sus factores. (a·b) = a · b -La potencia de una división es igual al cociente de las potencias del dividendo y el divisor. (a:b) = a : b La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b tal que, al elevarlo al cuadrado, obtenemos el número a. a = b, cuando b = a 2 n n n Llamamos radicando al número a, es el símbolo de la raíz y decimos que b es la raíz cuadrada de a. La raíz cuadrada entera de un número a es el mayor número b cuyo cuadrado es mayor que a. El resto de la raíz entera es la diferencia entre el radicando a y el cuadrado de la raíz entera b.

9 JERAQUÍA DE LAS OPERACIONES
Cuando en una expresión aparecen operaciones combinadas, el orden en que se realizan las operaciones es el siguiente: 1.º Las operaciones que hay entre paréntesis. 2.º Las potencias y las raíces. 3.º Los productos y las divisiones, de izquierda a derecha. 4.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.

10 APROXIMACIONES Y ERRORES
Cuando trabajamos con números muy grandes, resulta difícil recordar todas las cifras, por lo que tendemos a “redondear” el número para operar más fácilmente. Truncar un número a un cierto orden es sustituir por ceros las cifras de los órdenes inferiores a él. Para redondear un número a un cierto orden: Si la cifra siguiente a la cifra del orden considerado es mayor o igual que 5, aumentamos esta última en una unidad y truncamos el resto Si es menor, la dejamos igual y truncamos el resto. El error es la diferencia entre el valor exacto y el aproximado; el mayor menos el error.

11 TEMA 2. DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES
Los términos de la división son: Dividendo (D) divisor (d) Resto (r) cociente (c) -Una división es exacta si su resto es 0. Si la división es exacta, se cumple que: D = d · c -Una división es entera inexacta si su resto es distinto de 0. En este caso se cumple que: D = d · c + r Cuando la división entre dos números es exacta decimos que existe entre ellos relación de divisibilidad.

12 MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO DIVISORES DE UN NÚMERO
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los sucesivos números naturales. -Múltiplos de a: a · 1, a · 2, a · 3, a · 4, a · 5 Un número b es múltiplo de otro número a si la división de b entre a es exacta. DIVISORES DE UN NÚMERO Un número a es divisor de otro número b si la división de b entre a es exacta

13 NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
-Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. -Si un número tiene más de dos divisores, decimos que es un número compuesto. -El número 1 no es ni primo ni compuesto. Descomponer un número en factores es expresarlo como un producto de varios factores = 8 · Una descomposición en factores de 24 es 8 · Un número es primo solo admite una posible descomposición en factores: el producto de él mismo por la unidad. a = a · 1 Un número compuesto admite más de una descomposición en factores.

14 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Los criterios de divisibilidad mas importantes son los siguientes: Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten reconocer, sin realizar la división, si un número es divisible por otro. Divisible por… Criterio de divisibilidad 2 Si la última cifra es 0 o par Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 3 Si la última cifra es 0 o 5 Si la última cifra es 0 Si la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y las sumas de las de lugar impar es 0 o múltiplo de 11 5 10 11

15 FACTORIZACIÓN DE UN NÚMERO
Para factorizar un número se divide entre la serie de números primos (2, 3, 5, 7,…), tantas veces como se pueda, hasta obtener como cociente la unidad. Se empieza dividiendo entre 2; si no es exacto, entre 3; si tampoco es exacto, entre 5; si no, entre 7; entre 11; … Factorizar un número es descomponerlo en factores primos, es decir, expresarlo como producto de sus divisores primos

16 El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes.
El máximo común divisor de dos o más números a, b, c… se expresa: m. c. d. (a, b, c…). El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes. Para calcular el máximo común divisor de varios números seguimos estos pasos: 1º. Descomponemos los números en factores primos . 2º. Escogemos los factores primos comunes, elevados al menor exponente. 3º. El producto de esos factores es el m. c. d. de los números.

17 EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes. El mínimo común múltiplo de dos o más números a, b, c… se expresa. m. c. m. (a, b, c…). Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números seguimos estos pasos: 1º Descomponeos los números en factores primos. 2º. Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. 3º. El producto de esos factores es el m. c. m. de los números.