INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA CONJUNTOS NUMÉRICOS. LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

Presentación del tema: "INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA CONJUNTOS NUMÉRICOS. LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )"— Transcripción de la presentación:

1 INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA CONJUNTOS NUMÉRICOS

2 LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

3 Operatoria en ℚ En el conjunto de los ℚ se definen las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división las cuales verifican las siguientes propiedades: CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

4 1. Clausura (o Cerradura): Si a y b son números racionales, entonces: (a + b) ∈ ℚ y (a - b) ∈ ℚ (a ∙ b) ∈ ℚ y (a ÷ b) ∈ ℚ CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

5 2. Conmutatividad: Para a y b, números racionales, se cumple: a + b = b + a Y a b = b a CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

6 3. Asociatividad: Para, a, b y c números racionales, se cumple: a + (b + c) = (a + b) + c Y a (b c) = (a b) c CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

7 4. Distributividad: Para, a, b y c números racionales, se cumple: a (b + c) = a b + a c Distributividad a Izquierda ( a + b) c = a c + b c Distributividad a Derecha CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

8 5. Existencia de elemento Neutro aditivo: ∀ a ∈ ℚ, ∃! 0 ∈ ℚ: a + 0 = 0 + a0 es el Neutro Aditivo CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

9 6. Existencia de elemento Neutro multiplicativo: ∀ a ∈ ℚ, ∃! 1 ∈ ℚ: a 1 = 1 a = a, 1 es el Neutro Multiplicativo CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

10 7. Existencia de elemento Inverso aditivo: ∀ a ∈ ℚ, ∃! (-a) ∈ ℚ: a + (-a) = (-a) + a = 0, -a es el Inverso Aditivo CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

11 8. Existencia de elemento Inverso multiplicativo: ∀ a ∈ ℚ, a ≠ 0, ∃! a⁻ⁱ ∈ ℚ: a a⁻ⁱ = a⁻ⁱ a = 1, a⁻ⁱ es el Inverso Multiplicativo CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

12 Observaciones: 1.Subconjuntos notables en ℚ.: Racionales Positivos: ℚ⁺ = { …, ½, 1, 4/3, 2, 11/5, 3, … } Racionales Negativos: ℚ⁻ = { …, -2, -2/5, -1 -1/3, … } CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

13 Racionales no Negativos: ℚ⁺₀ = ℚ⁺ ⋃ {0} Racionales no Positivos: ℚ⁻₀ = ℚ⁻ ⋃ {0} CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

14 2. Todo número entero es racional. Es decir: ℤ ⊂ ℚ CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

15 3. Existen números que no pueden escribirse de la forma: a/b CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

16 Transformación de un número racional a decimal y viceversa Toda fracción puede transformarse en número decimal dividiendo el numerador por el denominador. CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

17 Ejemplos: 1.Convertir decimal finito a fracción: 4,5 = 4 5/10 = 45/10 = 9/2 0,24 = 24/100 = 12/50 = 6/25 CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

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26 Amplificación y Simplificación de Fracciones. Amplificación de Fracciones: Amplificar una Fracción es multiplicar, tanto su numerador como su denominador, por un mismo número, distinto de cero. CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

27 CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

28 Simplificación de Fracciones: Simplificar una Fracción es dividir, tanto su numerador como su denominador, por un mismo número, distinto de cero, que sea factor común de ambos. CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

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36 Algunas Reglas de Divisibilidad. 1.Un número es divisible por 2, si su último dígito es par. Ej.: 24, -346, 1256, … CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

37 2. Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3 Ej.: 753, -642, 1257, … CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

38 3. Un número es divisible por 5, si su último dígito es 0 o 5. Ej.: 75, 645, -1250, … CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

39 4. Un número es divisible por 7, si la diferencia, del número que se forma sin considerar el dígito de las unidades y el doble de este último, es cero o múltiplo de 7. Ej.: 364, 105, 2261, … CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

40 5. Un número es divisible por 11, si la diferencia, de la suma de los dígitos del número que ocupan los lugares impares y la de los pares, es cero o múltiplo de 11. Ej.: 352, 7458, 715, … CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

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42 2. Fracciones Heterogéneas: Para sumar este tipo de fracciones se reducen todas a fracciones equivalentes (Homogéneas) y que tengan un denominador común igual al m.c.m. de los denominadores. Ej.: CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

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52 Potencias de base racional y exponente entero: Es la operación que consiste en repetir un número, llamado BASE, tantas veces como factor, como lo indica otro llamado EXPONENTE, al resultado de esta operación se le denomina POTENCIA, se representa así: CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NUMEROS RACIONALES ( ℚ )

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