1 Índice del libro www.editex.es Conjuntos numéricos: N, Z y Q 1.Introducción a N, Z y QIntroducción a N, Z y Q 2.Tipos de fraccionesTipos de fracciones.

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1 1 Índice del libro www.editex.es Conjuntos numéricos: N, Z y Q 1.Introducción a N, Z y QIntroducción a N, Z y Q 2.Tipos de fraccionesTipos de fracciones 3.Representación gráfica de los números racionalesRepresentación gráfica de los números racionales 4.Fracciones equivalentesFracciones equivalentes 5.Orden en QOrden en Q 6.Operaciones con números racionalesOperaciones con números racionales 7.Expresión decimal de un número racionalExpresión decimal de un número racional 8.Expresión racional de un número decimalExpresión racional de un número decimal 9.Uso del paréntesis y jerarquía de las operacionesUso del paréntesis y jerarquía de las operaciones

2 1 www.editex.es Conjuntos numéricos: N, Z y Q 1. Introducción a N, Z y Q El hombre desde el principio sintió la necesidad de contar (ovejas, soldados de un ejército…). Así surge el conjunto N de los números naturales, que se define como el conjunto: N = {1, 2, 3, 4, 5...} Sin embargo, en el mundo occidental, se utilizó el signo negativo para indicar dichos números. Surge un nuevo conjunto de números, a los que llamamos números enteros, y se define como el conjunto: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...} El conjunto de números que resulta de la ampliación de Z es el conjunto de los números racionales y se representa por: Q = {a/b con a, b ∈ Z, siendo b ≠ 0}

3 1 www.editex.es Conjuntos numéricos: N, Z y Q 2. Tipos de fracciones Fracción propia: es aquella cuyo numerador es menor que el denominador y que, al efectuar el cociente, resulta un número menor que la unidad. Fracción impropia: es aquella cuyo numerador es mayor que el denominador y cuyo cociente es mayor que la unidad. Fracción decimal: es una fracción en la que el denominador es 100 o una de sus potencias.

4 1 www.editex.es Conjuntos numéricos: N, Z y Q 3. Representación gráfica de los números racionales Para representar los números racionales, consideraremos una recta horizontal sobre la que indicaremos los números enteros; el punto 0 será el origen. Para representar la fracción propia 2/3, dividiremos la unidad de longitud en 3 partes iguales y tomaremos 2.

5 1 www.editex.es Conjuntos numéricos: N, Z y Q 4. Fracciones equivalentes Para simplificar una fracción, dividiremos numerador y denominador por su máximo común divisor. Cuando una fracción no se pueda reducir más, diremos que es irreducible. La fracción a/b es irreducible si y solo si mcd (a, b) = 1.

6 1 www.editex.es Conjuntos numéricos: N, Z y Q 5. Orden en Q Establecemos en Q la siguiente relación de orden: De esta forma una relación de orden en Q, se transforma en una relación de orden en Z.

7 1 www.editex.es Conjuntos numéricos: N, Z y Q 6. Operaciones con números racionales Fracciones con el mismo denominador: Fracciones con distinto denominador:

8 1 www.editex.es Conjuntos numéricos: N, Z y Q 6. Operaciones con números racionales Opuesto de una fracción: Producto de dos fracciones:

9 1 www.editex.es Conjuntos numéricos: N, Z y Q 6. Operaciones con números racionales Inversa de una fracción: División de dos fracciones:

10 1 www.editex.es Conjuntos numéricos: N, Z y Q 7. Expresión decimal de un número racional Si efectuamos las divisiones correspondientes de un número racional, obtenemos números decimales: En este tipo de números podemos distinguir dos partes: Parte entera: las cifras que se encuentran a la izquierda de la coma. Parte decimal: las cifras que se encuentran a la derecha de la coma.

11 1 www.editex.es Conjuntos numéricos: N, Z y Q 7. Expresión decimal de un número racional Los números decimales que resultan de dividir fracciones son de los siguientes tipos: Decimal exacto: cuando el número de cifras decimales es finito. Decimal periódico puro: cuando la parte decimal está formada por un conjunto de cifras decimales que se repite infinitas veces. A este conjunto de cifras lo llamaremos periodo. Decimal periódico mixto: cuando el número tiene un periodo que se repite infinitas veces, pero entre dicho periodo y la coma existe una cifra o grupo de cifras llamada anteperiodo.

12 1 www.editex.es Conjuntos numéricos: N, Z y Q 8. Expresión racional de un número decimal Decimales exactos: Para expresar un número decimal exacto como una fracción, escribimos en el numerador el número decimal sin comas y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como decimales haya. Decimales periódicos puros: Consideremos N = 0,444… Multiplicamos N por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el periodo y al resultado le restamos N:

13 1 www.editex.es Conjuntos numéricos: N, Z y Q 8. Expresión racional de un número decimal Decimales periódicos mixtos: Consideremos N = 9,1666... Multiplicamos N por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo para obtener un número periódico puro: 10N = 91,666... Y ahora procedemos como lo hacemos para expresar un número periódico puro en forma de fracción. Multiplicamos el número por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el periodo y al resultado le restamos el número periódico puro, en este caso 10N:

14 1 www.editex.es Conjuntos numéricos: N, Z y Q 9. Uso del paréntesis y jerarquía de las operaciones La jerarquía de las operaciones es la siguiente: 1. Corchetes y Paréntesis 2. Multiplicación y división, misma jerarquía 3. Suma y resta, misma jeraquía. Las operaciones se realizarán de izquierda a derecha, respetando la jerarquía señalada.