NÚMEROS REALES.

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1 NÚMEROS REALES

2 Introducción. Números naturales.
El conjunto de los números naturales se representa por y sus elementos son Números enteros. El conjunto de los números enteros se representa por y está formado por los números naturales y por los números negativos Un número entero a es mayor que otro número entero b cuando en la representación gráfica a está situado a la derecha de b a > b Un número entero a es menor que otro número entero b cuando en la representación gráfica a está situado a la izquierda de b. a < b Valor absoluto de un número entero:

3 Introducción. Potencias.

4 Introducción. Números racionales.
El conjunto de los números racionales se representa por y está formado por Potencias. Si el exponente es entero positivo Si el exponente es cero Si el exponente es entero negativo

5 Introducción. Cambio de expresión fraccionaria a expresión decimal.
Se hace la división y puede suceder que: Se termine y por tanto la expresión decimal sea limitada (decimal exacto) No se termine y por tanto la expresión decimal sea ilimitada. Las cifras que se repiten a partir de una en bloques iguales se llaman períodos (decimal periódico) Si el bloque de cifras que se repite lo hace inmediatamente a continuación de la coma se llama decimal periódico puro, y en caso contrario decimal periódico mixto. Todo número racional puede escribirse en forma decimal periódica.

6 Introducción. Cambio de la expresión decimal a expresión fraccionaria.
Decimal exacto: Se ponen todas las cifras y se divide entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Decimal periódico puro: Se ponen todas las cifras enteras y decimales sin la coma, se le resta la parte entera y se divide entre tantos nueves como cifras tenga el período. Decimal periódica mixto: Se ponen todas las cifras enteras y decimales sin la coma, se le resta la parte entera y la decimal no periódica, y se divide entre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no incluida en el período. Todo número decimal puede escribirse en forma fraccionaria.

7 1. Números reales. La recta real.
Los números que vienen dados por una expresión decimal no periódica se llaman números irracionales. Tanto los números racionales como los irracionales forman los números reales.

8 Intervalos y semirrectas.
NOMBRE SÍMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN Números comprendidos entre a y b, estos no incluidos INTERVALO ABIERTO (a , b) a b Números comprendidos entre a y b, estos incluidos INTERVALO CERRADO [a , b] a b Números comprendidos entre a y b; a no incluido, b incluido (a , b] a b INTERVALO SEMIABIERTO Números comprendidos entre a y b; a incluido, b no incluido [a , b) a b

9 Intervalos y semirrectas.
NOMBRE SÍMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN Números menores que a, este no incluido a Números menores que a y el propio a a SEMIRRECTA Números mayores que a, este no incluido a Números mayores que a y el propio a a

10 2. Valor absoluto de un número real.
El valor absoluto de un número real a, es el propio número a, si es positivo, o su opuesto, -a, si es negativo: Ejemplos: 5,87

11 Ejemplos. 1. -3 3 2. 3. -2 2

12 Ejemplos. 4. -2 2 5. -3 7

13 3. Radicales. Propiedades.
La radicación es la operación inversa de la potenciación.   Llamamos raiz n-ésima de un número dado a al número b que elevado a n nos da a.                           índice ( n > 1) radicando radical

14 Forma exponencial de los radicales.

15 Propiedades de los radicales. Potencias y raíces.
1. Se utiliza para simplificar radicales Se utiliza para reducir a común índice varios radicales 2. 3.

16 Propiedades del producto y del cociente de radicales.
4. Se utiliza para extraer factores fuera de la raíz Se utiliza para juntar varios radicales en uno 5. Se utiliza junto con las propiedades 1 y 4 para poner productos y cocientes de radicales bajo una sola raíz

17 Suma de radicales. Para poder sumar dos radicales tiene que ser radicales idénticos, es decir, que tengan el mismo índice y el mismo radicando. Ejemplos. 7+11-1=17 1. 2.

18 Racionalización de denominadores.
Es el procedimiento por el cual hacemos desaparecer los radicales del denominador de una fracción. 1. Multiplicamos numerador y denominador por 2. con m < n Multiplicamos numerador y denominador por

19 Racionalización de denominadores.
Multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador 3. 4. Multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador

20 4. Logaritmos. Propiedades.
El logaritmo de un número, m, positivo, en base a, positiva y distinta de uno, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número m dado:                       Cuando la base es a = 10, se llaman logaritmos decimales y se expresan por log en vez de , es decir: Cuando la base es a = e, se llaman logaritmos neperianos y se expresan por ln en vez de , es decir:

21 Propiedades de los logaritmos.
1. El logaritmo de la base es uno:                     El logaritmo de la unidad es cero: 2. 3. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores: 4. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

22 Propiedades de los logaritmos.
1. El logaritmo de la base es uno:                     El logaritmo de la unidad es cero: 2. 3. El logaritmo de una potencia de la base es el exponente: 4. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores: 5. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

23 Propiedades de los logaritmos.
6. El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia:                      7. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice:                      8. Cambio de base. El logaritmo en base a de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base:

24 5. Expresión decimal de los números reales. Números aproximados.
¿Qué número multiplicado por sí mismo da 2?. Lo representaremos por Su valor decimal se calcula por aproximaciones sucesivas. Se procede así: se eligen números enteros y se observa que 1 por sí mismo da uno, y dos por sí mismo da 4, luego se eligen números entre 1 y 2 con un decimal y se obtiene se eligen ahora números entre 1,4 y 1,5 con dos decimales y obtenemos

25 Error y números racionales.
Los números racionales pueden escribirse exactamente siempre que se utilice la notación fraccionaria. Al tomar un número decimal periódico no pueden tomarse todas sus cifras decimales y se comete un error. Por ejemplo: Si tomamos este número como 3,33 cometemos un error. El error absoluto es la diferencia en valor absoluto entre el número y un valor aproximado del mismo: El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el número, es decir el error por unidad:

26 Error y números irracionales.
Los números irracionales no se pueden dar nunca en forma fraccionaria ni en forma decimal exacta, ya que su expresión tiene infinitas cifras no periódicas. Por ejemplo, el número sabemos que está comprendido en los siguientes intervalos: (3;4), (3,1;3,2), (3,14;3,15), ... Según aumentamos el número de cifras decimales de los extremos de los intervalos, el error, al tomar los extremos como aproximación de su valor será menor. Si tomamos = 3,14 se comete un error que no puede conocerse exactamente pero sí acotarse: Error absoluto: Error relativo:

27 Notación científica. Ejemplos. 1.
El volumen de la tierra es 1,08 x 1021 m3 Esto es un número aproximado en notación científica. 2. El diámetro de un cierto virus es 3,1 x 10-9 m Esto es un número aproximado en notación científica.