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1 1 Índice del libro www.editex.es Conjuntos numéricos 1.Números naturalesNúmeros naturales 2.Números enterosNúmeros enteros 3.Números racionalesNúmeros racionales 4.Números irracionalesNúmeros irracionales 5.Números realesNúmeros reales 6.Potencias y radicalesPotencias y radicales 7.Notación científicaNotación científica 8.LogaritmosLogaritmos

2 1 www.editex.es Conjuntos numéricos 1. Números naturales Los números naturales los utilizamos para contar. El conjunto de los números naturales se designa con la letra N y tiene infinitos elementos: Decimos que un número a es múltiplo de otro b si se cumple que a = n  b, donde n es otro número natural. Decimos que un número a es divisor de b si se cumple que b : a es división exacta. N = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...)

3 Conjuntos numéricos 1. Números naturales 1.2. Factorización Decimos que un número es primo si solamente es divisible entre 1 y entre sí mismo. Decimos que un número es compuesto si además del 1 y de sí mismo tiene otros divisores. Factorizar un número es descomponerlo en factores primos, es decir, expresarlo como un producto de números primos. www.editex.es 1

4 Conjuntos numéricos 1. Números naturales 1.3. Mínimo común múltiplo y máximo común divisor El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes. El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes. www.editex.es 1

5 Conjuntos numéricos 2. Números enteros Hay situaciones que no se pueden expresar con números naturales, como temperaturas bajo cero, saldos negativos, etc. Por este motivo surgen los números enteros, que están formados por los números naturales y sus opuestos, es decir, los números negativos. El conjunto de los números enteros se designa con la letra Z. Z = (.... –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…) Llamamos valor absoluto de un número a, que se representa |a|, al valor del número natural sin tener en cuenta el signo. www.editex.es 1

6 Conjuntos numéricos 2. Números enteros 2.2. Jerarquía de las operaciones Si existen operaciones combinadas, hay que realizarlas siempre en el mismo orden. 1 Paréntesis 2 Corchetes 3 Potencias 4 Multiplicaciones y divisiones 5 Sumas y restas Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. www.editex.es 1

7 Conjuntos numéricos 3. Números racionales El conjunto de los números racionales se designa con la letra Q e incluye los números naturales, los enteros y los fraccionarios. Naturales (N) Enteros (Z) Fraccionarios Racionales (Q) www.editex.es 1

8 Conjuntos numéricos 3. Números racionales 3.1. Fracciones Una fracción es una expresión de la forma a donde a y b son números enteros y b ≠ 0. b Una fracción se puede interpretar como: a) Operación: He gastado 2/3 de los 60 litros del depósito. b) Proporción: En mi casa, 2 de cada 3 bombillas dan luz blanca. c) Porcentaje: Hay rebajas de un 30%. __ www.editex.es 1

9 Conjuntos numéricos 3. Números racionales 3.2. Fracciones equivalentes Son fracciones equivalentes, aquellas que tienen el mismo valor. En las fracciones equivalentes el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a c a  d = c  b, donde a y d son los extremos; b y c son los medios. b d __ = __ www.editex.es 1

10 Conjuntos numéricos 3. Números racionales 3.3. Fracción irreducible Se llama fracción irreducible a aquella cuyo numerador y denominador son números primos entre sí. Simplificar una fracción es hallar su fracción equivalente irreducible. Se puede obtener de tres formas: 1.Dividiendo numerador y denominador entre el mismo número hasta que no haya más divisores comunes. 2.Dividiendo numerador y denominador entre el mcd. 3.Factorizando numerador y denominador y eliminando los factores comunes. www.editex.es 1

11 Conjuntos numéricos 3. Números racionales 3.4. Reducción a común denominador Reducir a común denominador es poner dos o más fracciones con el mismo denominador. Para eso procedemos de la siguiente forma: 1.Hallamos el mcm de los denominadores. Este será el denominador común. 2.Dividimos el mcm entre el denominador de cada fracción y lo multiplicamos por el numerador. Este será el numerador en cada fracción. www.editex.es 1

12 Conjuntos numéricos 3. Números racionales 3.7. Operaciones con fracciones Suma y resta de fracciones: Con el mismo denominador: el resultado es otra fracción cuyo numerador es la suma o resta de los numeradores y el denominador es el mismo. Con distinto denominador: se reduce a común denominador, se suman o restan los numeradores y el denominador es el común. www.editex.es 1

13 Conjuntos numéricos 3. Números racionales 3.7. Operaciones con fracciones Multiplicación de fracciones Fracción y fracción: el resultado es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. Fracción y número entero: se multiplica el numerador por el número entero y se mantiene el denominador. www.editex.es 1

14 Conjuntos numéricos 3. Números racionales 3.7. Operaciones con fracciones División de fracciones Fracción y fracción: el resultado es otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda y el denominador es el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. Fracción y número entero: se procede como en el caso anterior: se convierte el número entero en fraccionario de denominador uno. www.editex.es 1

15 Conjuntos numéricos 3. Números racionales 3.8. Números decimales Toda fracción puede expresarse como un número decimal realizando el cociente del numerador entre el denominador. Pueden darse tres casos: 1.Decimal exacto: número finito de cifras decimales (1,27). 2.Decimal periódico puro: infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente. Las cifras que se repiten forman el periodo (2,131313…). 3.Decimal periódico mixto: infinitas cifras decimales, pero solo algunas se repiten de forma periódica. Estas forman el periodo y las que no se repiten, el anteperiodo (1,2343434…). www.editex.es 1

16 Conjuntos numéricos 4. Números irracionales El conjunto de los números irracionales se designa con la letra I. Está formado por números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas. Son números irracionales cualquier raíz no exacta, el número pi, el número e, el número áureo... www.editex.es 1

17 Conjuntos numéricos 5. Números reales El conjunto de los números reales se designa con la letra R e incluye todos los conjuntos numéricos que hemos visto hasta ahora, racionales e irracionales. Los números irracionales se pueden representar de forma aproximada o exacta. www.editex.es 1

18 Conjuntos numéricos 5. Números reales 5.1. Intervalos Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b, que se llaman extremos del intervalo. Los intervalos pueden ser: Abierto: (a, b) es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b. Cerrado: [a, b] es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. www.editex.es 1

19 Conjuntos numéricos 5. Números reales 5.1. Intervalos Semiabierto por la izquierda: (a, b] es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b. Semiabierto por la derecha: [a, b) es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b. www.editex.es 1

20 Conjuntos numéricos 6. Potencias y radicales 6.1. Potencias de exponente natural Una potencia es un producto de factores iguales. 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 5 La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo. En este caso es el 2. El exponente de la potencia es el número de veces que lo multiplicamos. En este caso es el 5. www.editex.es 1

21 Conjuntos numéricos 6. Potencias y radicales 6.2. Propiedades de las potencias de números naturales www.editex.es 1

22 Conjuntos numéricos 6. Potencias y radicales 6.2. Propiedades de las potencias de números naturales www.editex.es 1

23 Conjuntos numéricos 6. Potencias y radicales 6.3. Radicales (raíces) La radicación es la operación inversa a la potenciación. Las raíces de índice par solo existen para los números positivos y tienen dos soluciones (una positiva y otra negativa). Las raíces de índice impar existen para todos los números y tienen una única solución que es siempre negativa. Se llama radicales equivalentes a los que tienen la misma raíz. Se obtienen multiplicando o dividiendo el índice y el exponente del radicando por el mismo número. www.editex.es 1

24 Conjuntos numéricos 6. Potencias y radicales 6.4. Forma exponencial de los radicales Todo radical se puede escribir como potencia de exponente fraccionario. La base es el radicando, el numerador del exponente es la potencia del radicando y el denominador del exponente es el índice de la raíz. Esto se hace para simplificar radicales o para operar con ellos. www.editex.es 1

25 Conjuntos numéricos 6. Potencias y radicales 6.5. Propiedades de los radicales www.editex.es 1

26 Conjuntos numéricos 6. Potencias y radicales 6.6. Operaciones con radicales La suma y resta de radicales solo puede realizarse si estos son semejantes. Se suman o restan los números que multiplican a los radicales y dejamos el radical semejante. www.editex.es 1

27 Conjuntos numéricos 6. Potencias y radicales 6.6. Operaciones con radicales En el producto y en la división se pueden dar dos casos: a) Mismo índice: se mantiene el radical y se multiplican o dividen los radicandos. b) Diferente índice: se reduce a índice común. El índice común será el mcm de los índices. El radicando se calcula usando: www.editex.es 1

28 Conjuntos numéricos 6. Potencias y radicales 6.8. Racionalización La racionalización consiste en hacer desaparecer los radicales del denominador de una fracción. Fracción con raíz cuadrada en el denominador: multiplicamos numerador y denominador por la raíz cuadrada del denominador y operamos. Fracción con raíz enésima en el denominador : multiplicamos numerador y denominador por y operamos. www.editex.es 1

29 Conjuntos numéricos 6. Potencias y radicales 6.8. Racionalización Fracción con un binomio en el denominador: multiplicamos numerador y denominador por el conjugado y operamos. www.editex.es 1

30 Conjuntos numéricos 7. Notación científica La notación científica se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños. Para expresar un número en notación científica escribimos la coma detrás de la primera cifra diferente de cero y una potencia de diez cuyo exponente será igual al número de lugares que hemos movido la coma. Este exponente será: Negativo: si movemos la coma a la derecha. Positivo: si movemos la coma a la izquierda. www.editex.es 1

31 Conjuntos numéricos 8. Logaritmos El logaritmo en base a de un número x es el exponente al que hay que elevar la base para que resulte dicho número: Log a x = b. El número x debe ser siempre positivo. Log a x = b a b = x Aunque la base puede ser cualquier número, en este curso solo vamos a estudiar logaritmos decimales, es decir, en base 10. www.editex.es 1

32 Conjuntos numéricos 8. Logaritmos 8.1. Propiedades de los logaritmos www.editex.es 1