Presentado por: Yuli Domínguez. Portal Educativo El mentor de matemáticas Grupo Océano MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO.

Presentación del tema: "Presentado por: Yuli Domínguez. Portal Educativo El mentor de matemáticas Grupo Océano MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO."— Transcripción de la presentación:

1 Presentado por: Yuli Domínguez. Portal Educativo El mentor de matemáticas Grupo Océano MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO

2 Los conceptos de múltiplo y divisor El número 6 es el resultado de multiplicar 2 x 3. Entonces se afirma que 6 es un múltiplo de 2 y de 3. Para hallar los múltiplos de cualquier número, por ejemplo de 5, se multiplica dicho número por cualquier número natural: 1, 2, 3, 4, 5,… los múltiplos de 5 son, por tanto, 5, 10, 15, 20, 25,…. En forma algebraica se afirma que a es un múltiplo de b si existe un numero c, tal que a = b x c. según el ejemplo anterior, se afirma que 20 es un múltiplo de 5 por que existe el número 4, q cumple que 20 = 5 x 4. Por otra parte 6 ÷ 2 es una división exacta, y lo mismo ocurre con 6 ÷ 3. En estos casos, se afirma que 2 y 3 son divisores de 6. Si un número a es múltiplo de un número b, eso significa que b es divisor de a. por ejemplo, 20 es múltiplo de 5, de manera que 5 es visor de 20. A los divisores se les denomina también factores.

3 Criterios de divisibilidad usuales Existe una serie de métodos que permiten hallar los divisores de un número. En primer lugar, todos los números son divisibles por ellos mismos y por la unidad. Cualquier número, como, por ejemplo, el 5, se puede dividir por sí mismo y por 1, con una división exacta, los números 2, 3, 4, y 5 son divisores de otros números en los siguientes casos:  El número 2 es el divisor de cualquier número par. Por ejemplo, el 8 y el 56 tienen como divisor a 2, ya que si se dividen por 2, las soluciones son exactas.  Un número tiene como divisor el 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Por ejemplo, si se suman las cifras del número 45 resulta 4 + 5 = 9; como el 9 es un múltiplo de 3, esto indica que 45 tiene como divisor a 3.

4  El 4 es un divisor de un número dado si las dos últimas cifras son cero o un múltiplo de 4, como suceden con los números 3 400 y 744.  El numero 5 siempre es el divisor de aquellos números acabados en cero o en 5, como el 45 y el 70. Existen más criterios de divisibilidad respecto a otros números, pero es preferible en estos hacer la división y comprobar si es exacta o no. Por ejemplo, el numero 91 no cumple con ninguno de los criterios anteriores. En este caso hay que dividir este valor por otros números, como el 7 o el 11. Al hacer la división por 7, se observa que: 91 7 21 13 0 La división es exacta, por lo que tanto el 7 como 13 son divisores de 91. Si no se encuentra ningún otro divisor, aparte de la unidad y del mismo, entonces dicho número es un número primo.

5 Números primos y compuestos Los números primos son aquellos números naturales que solo son divisibles por sí mismos y la unidad. No tienen, por tanto, más que dos divisores. Por ejemplo, el número 13 es divisible por 1 y por 13, pero no es divisible por 2 (no es par). Ni tampoco por 3, 4, ni otro.como no hay ningún número que sea divisor de 13, excepto el mismo y la unidad, se afirma que es un numero primo. Los números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,….. Los números que no son primos se denominan compuestos. Un número compuesto siempre se puede descomponer en divisores (o factores) primos. Como excepción, el número 1, que es divisor de cualquier número, no se consideran ni primo ni compuesto.

6 Descomposición en números primos Para descomponer un número en sus factores primos, se comienza a dividir el número dado por el menor divisor primo posible que dé una división exacta. Se continua el procedimiento con el cociente obtenido, hasta obtener uno que se divisible por sí mismo y la unidad. Por ejemplo, para descomponer 48 en factores primos, primero se divide por 2, porque es par: 48 ÷ 2 = 24 El resultado puede volver a ser par, y se divide por 2: 24 ÷ 2 = 12

7 Sucesivamente, se divide por 2: 12 ÷ 2 = 6 6 ÷ 2 = 3 La última solución es un número primo, por lo que solo puede dividirse por el mismo: 3 ÷ 3 = 1 En la práctica, los sucesivos cocientes y divisores y disponen en columnas separadas entre sí por una línea vertical: 48 2 24 2 12 2 6 2 3 2 Los divisores son los factores del número examinando, en este caso: 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 Un número multiplicado por sí mismo varias veces se puede escribir en forma de potencia, del siguiente modo: 2 x 2 x 2 x 2 = 2 4 El superíndice 4 indica que se ha de multiplicar el 2 por sí mismo, tomándolo como factor 4 veces. Así, los factores primos del número 48 pueden escribirse: 48 = 2 4 x 3

8 Calculo del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo Para calcular el mayor divisor común o máximo común divisor (abreviado, m.c.d.) de varios números se procede a descomponerlos en factor primos y se calcula luego el producto de los factores comunes a todos ellos, tomados con el menor exponente. Cuando el m.c.d. de dos o más números es 1, dichos números se llaman primos entre sí. Sea, por ejemplo, el cálculo del máximo común divisor de 24, 36, y 90; tras realizar la descomposición en factores primos de los tres números se tiene que: 24 = 2 3 x 3 36 = 2 2 x 3 2 90 =2 x 3 2 x5 Los factores comunes a todos son el 2 y el 3. Como los exponentes más pequeños son, en ambos casos, el 1 (que se omite al escribir), el m.c.d. será igual a 2 x 3 = 6, escrito también m.c.d (24, 36, 90) = 6. El menor múltiplo común o mínimo común múltiplo (abreviado, m.c.m.) de varios números se define como el menor de los números que son múltiplos de todos ellos. Para hallarlo, primero se descomponen los números en sus factores primos, y se calcula luego el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente con el hayan aparecido.

9 Asì, para los mismos números del ejemplo anterior, se tiene que los factores comunes y no comunes son 2, 3, y 5. Los mayores exponentes de cada uno de los factores son 2 3, 3 2, 5. Por tanto: m.c.m (24,36,90) = 2 3 x 3 2 x5 = 360