Álgebra elemental.

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1 Álgebra elemental

2 Las cuatro operaciones fundamentales
Productos notables y factorización Fracciones Ecuaciones de primer grado Funciones y gráficas Ecuaciones simultaneas de primer grado Exponentes radicales Ecuaciones de segundo grado Razones, proporciones y variaciones Logaritmos

3 Las cuatro operaciones fundamentales

4 1. Las cuatro operaciones fundamentales
El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

5 1. El sistema de los números reales

6 Las operaciones fundamentales
Las operaciones fundamentales del álgebra son la adición, la sustracción, la multiplicación y la división.

7 Los números naturales El primer paso en la creación del sistema de los números reales fue la invención de los enteros positivos 1, 2, , o números empleados para contar un conjunto de objetos.

8 Los números naturales

9 El concepto de cerradura
Cuando uno suma dos números naturales (dos números enteros positivos) el resultado es, siempre, otro número natural.

10 El concepto de cerradura
Cuando uno suma dos números naturales (dos números enteros positivos) el resultado es, siempre, otro número natural. Se dice entonces que el conjunto de los números naturales es cerrado con respecto a la operación de suma.

11 El concepto de cerradura
Cuando uno multiplica dos números naturales (dos números enteros positivos) el resultado es, siempre, otro número natural.

12 El concepto de cerradura
Cuando uno multiplica dos números naturales (dos números enteros positivos) el resultado es, siempre, otro número natural. Se dice entonces que el conjunto de los números naturales es cerrado con respecto a la operación de multiplicación.

13 El concepto de cerradura
Sin embargo, si uno sustrae dos números enteros positivos, el resultado no necesariamente es un número entero positivo.

14 El concepto de cerradura
Sin embargo, si uno sustrae dos números enteros positivos, el resultado no necesariamente es un número entero positivo.

15 El concepto de cerradura
Lo mismo sucede en el caso de la división. El cociente de dos números enteros positivos, no es en general un número entero.

16 El concepto de cerradura
Evidentemente, un conjunto numérico es inadecuado si la suma, el producto, la diferencia o el cociente de dos de los números del sistema no es también un elemento del sistema.

17 El concepto de cerradura
Evidentemente, un conjunto numérico es inadecuado si la suma, el producto, la diferencia o el cociente de dos de los números del sistema no es también un elemento del sistema. Por ejemplo, no existe ningún entero positivo que sea igual a ó a 5 ÷ 9. Esto es, la sustracción y la división sólo pueden aplicarse de manera limitada a los enteros positivos.

18 El concepto de cerradura
Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado, para una operación, si al aplicar dicha operación a dos elementos del conjunto el resultado es también un elemento del conjunto.

19 El concepto de cerradura
Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado, para una operación, si al aplicar dicha operación a dos elementos del conjunto el resultado es también un elemento del conjunto. Puesto que la suma y el producto de dos enteros positivos cualesquiera es también un entero positivo, entonces el conjunto de los enteros positivos es un conjunto cerrado con respecto a la adición y la multiplicación

20 El concepto de cerradura
Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado, para una operación, si al aplicar dicha operación a dos elementos del conjunto el resultado es también un elemento del conjunto. En cambio, la diferencia y el cociente de dos enteros positivos no conduce siempre a un entero positivo, esto es, el conjunto de los enteros positivos no es un conjunto cerrado con respecto a la sustracción y la división.

21 Necesidad de ampliar los números naturales
Se dice que un conjunto de números es un conjunto cerrado, para una operación, si al aplicar dicha operación a dos elementos del conjunto el resultado es también un elemento del conjunto. El conjunto de los enteros positivos no es un conjunto cerrado con respecto a la sustracción y la división. Es así como se origina la necesidad de ampliar el sistema. (Recuérdese que el sistema numérico es una invención).

22 Los enteros negativos La solución de problemas prácticos, esencialmente la solución de ecuaciones, llevo, de manera natural, a la introducción de los números enteros negativos.

23 ¿4-5=? Si tengo 4 pesos y un pan cuesta 5, ¿cuánto tengo?
Los enteros negativos Si tengo 4 pesos y un pan cuesta 5, ¿cuánto tengo? ¿4-5=?

24 Los números enteros Así el conjunto de los números enteros está constituido por los números naturales, el cero y los números enteros negativos.

25 Los números enteros

26 Los números enteros El conjunto de los números enteros es cerrado para las operaciones de suma, resta y multiplicación.

27 Los números racionales
¿Qué número multiplicado por 2 nos da 1?

28 Los números racionales
¿Qué número multiplicado por 2 nos da 1? Evidentemente esta pregunta no tiene respuesta “dentro de los números enteros”. El conjunto de los números enteros no es cerrado con respecto a la operación de división.

29 Los números racionales
¿Qué número multiplicado por 2 nos da 1? El conjunto de los números enteros no es cerrado con respecto a la operación de división. Para responder esta pregunta tenemos que “inventar” los números racionales.

30 Los números racionales
Los números racionales son aquellos que se escriben como el cociente de dos números enteros.

31 Los números racionales
Los números racionales son aquellos que se escriben como el cociente de dos números enteros.

32 Los números racionales

33 Los números racionales

34 Los números irracionales

35 Los números reales

36 Interpretación de los números como distancias
La interpretación de los números como distancias es útil para definir y para comprender las ampliaciones del sistema numérico.

37 Interpretación de los números como distancias

38 Interpretación de los números como distancias
Interpretación de los números como distancias. La interpretación de los números como distancias es útil para definir y para comprender las ampliaciones mencionadas del sistema numérico. Para ello se usarán la línea recta indefinida L' L (Fig. 1.1), un punto O fijo sobre ella, y la unidad de distancia u. A la derecha de O se trazan intervalos de longitud u, obteniéndose los puntos que aparecen debajo de li línea. Luego, a partir del primer punto a la derecha de O, se colocan sucesi· vamente los enteros 1, 2, Se tiene así la certeza de que cada uno de los puntos marcados en la línea está asociado tanto con uno de los números enteros como con una distancia que representa a cada uno

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40 Definición del sistema de los números reales, Se define el conjunta
de los números reales como el conjunto de los números r que se pueden asociar con puntos R situados sobre una línea recta de tal manera que cada punto R está a una distancia r del punto fijo O. Si R está a la derecha de O, r es positivo; si R está a la izquierda de O, r es negativo; si R coincide con O, r es cero, Cero no es positivo ni negativo y separa, además, a los números positivos de los números negativos.

41 El valor absoluto o valor numérico de un número se define como sigue:
El valor absoluto o valor numérico de un número real positivo es el número mismo. El valor absoluto o valor numérico de un número real negativo es el mismo número con signo opuesto.

42 El valor absoluto, es por tanto, siempre un número positivo.
El valor absoluto o valor numérico de un número es el número “en si”, sin el signo. El valor absoluto, es por tanto, siempre un número positivo.

43 El valor absoluto de un número n, se representa por medio del símbolo
y se puede imaginar como la distancia entre O y el punto que representa a n en la escala de los números reales.

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45 El valor absoluto o valor numérico de un número se define como sigue:
El valor absoluto o valor numérico de un número real positivo es el número mismo. El valor absoluto o valor numérico de un número real negativo es el mismo número con signo opuesto.

46 1. Las cuatro operaciones fundamentales
El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

47 2. Definiciones básicas

48 Definición de expresión
Un grupo de números y letras combinadas entre sí mediante una o más de las operaciones fundamentales recibe el nombre de expresión algebraica.

49 Definición de expresión
Un grupo de números y letras combinadas entre sí mediante una o más de las operaciones fundamentales recibe el nombre de expresión algebraica.

50 Definición de término Un número o una letra, o varios números y letras, combinados entre sí mediante las operaciones de multiplicación o de división, o de ambas, recibe el nombre de término

51 Definición de término Un número o una letra, o varios números y letras, combinados entre sí mediante las operaciones de multiplicación o de división, o de ambas, recibe el nombre de término

52 Definición de término Puesto que un término no implica ni adición ni sustracción, todo grupo de letras que en una expresión algebraica esté separado de otros grupos mediante los signos más o menos es un término.

53 Definición de término Puesto que un término no implica ni adición ni sustracción, todo grupo de letras que en una expresión algebraica esté separado de otros grupos mediante los signos más o menos es un término. De acuerdo con lo anterior, el signo de un término es el signo que lo precede.

54 Definición de término Puesto que un término no implica ni adición ni sustracción, todo grupo de letras que en una expresión algebraica esté separado de otros grupos mediante los signos más o menos es un término. De acuerdo con lo anterior, el signo de un término es el signo que lo precede.

55 Coeficiente numérico Si un término está compuesto de un número y una o más letras, el número recibe el nombre de coeficiente numérico de las letras en el término.

56 Coeficiente numérico Si un término está compuesto de un número y una o más letras, el número recibe el nombre de coeficiente numérico de las letras en el término.

57 Coeficiente numérico Si un término está compuesto de un número y una o más letras, el número recibe el nombre de coeficiente numérico de las letras en el término. Comúnmente al hablar del coeficiente numérico se dice simplemente el coeficiente.

58 Una expresión algebraica que contiene solamente un término se denomina
Monomio Una expresión algebraica que contiene solamente un término se denomina monomio.

59 Binomio Una expresión algebraica que contiene exactamente dos términos se denomina bimonomio.

60 Trinomio Una expresión algebraica que contiene exactamente tres términos se denomina trinomio.

61 Multinomio Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se denominan multinomios.

62 Multinomio En realidad se le puede decir multinomio a cualquier expresión algebraica que contenga más de un término.

63 1. Las cuatro operaciones fundamentales
El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

64 1.3 Adición y sustracción

65 Regla de la adición algebraica
En álgebra los términos suma y diferencia se usan en el mismo sentido que en aritmética, si se aplican a números positivos. Sin embargo, su aplicación a números negativos hace necesario precisar el procedimiento de adición.

66 Esta operación más amplia, que se conoce como adición algebraica, se describe en el regla siguiente:
La suma algebraica de dos números con el mismo signo es la suma de los valores absolutos de los dos números, precedida de su signo común; la suma algebraica de dos números con signo diferente es la diferencia de los valores absolutos de los números, precedida por el signo del número de mayor valor absoluto.

67 Adición algebraica Para hacer la suma de varios términos que poseen las mismas letras, se efectúa la suma aritmética de los coeficientes y se agrega el grupo de letras.

68 Adición algebraica La suma de dos o más términos que contienen letras diferentes puede ser solamente expresada colocando un signo más entre ellos.

69 Por ejemplo, la suma de -1ab y 3cd es -1ab + 3cd.
Adición algebraica La suma de dos o más términos que contienen letras diferentes puede ser solamente expresada colocando un signo más entre ellos. Por ejemplo, la suma de -1ab y 3cd es -1ab + 3cd.

70 Propiedad conmutativa de la adición
En aritmética se puede comprobar que, para cualquier par de números que se ensaye, la suma es la misma independientemente del orden en que se efectúe la adición. Esto se conoce como la propiedad conmutativa de la adición. Consideraremos que esto es cierto para todos los números y tendremos entonces el axioma siguiente:

71 Propiedad conmutativa de la adición

72 Propiedad asociativa de la adición
Otra propiedad de la adición, que puede comprobarse fácilmente para cualesquiera tres o más números dados, es que la suma es la misma independientemente del orden en el cual los números se adicionen.

73 Propiedad asociativa de la adición
Otra propiedad de la adición, que puede comprobarse fácilmente para cualesquiera tres o más números dados, es que la suma es la misma independientemente del orden en el cual los números se adicionen. Por ejemplo, = = = = 12.

74 Propiedad asociativa de la adición
Consideraremos que esta propiedad, conocida como la propiedad asociativa de la adición, es válida para todos los números. De ese modo tenemos el axioma siguiente, en el cual los paréntesis se usan para indicar el orden en que se efectúa la adición:

75 Propiedad asociativa de la adición

76 Estos dos axiomas son la base del procedimiento usual para encontrar la suma de dos o más expresiones. Esto es, del procedimiento en el cual se escribe cada expresión debajo de la que le precede, y al mismo tiempo, se ordenan los términos de tal modo que los que contienen las mismas letras queden formando columnas.

77 Adición algebraica. Ejemplo

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79 Regla de la sustracción algebraica

80 Regla de la sustracción algebraica

81 Regla de la sustracción algebraica
Con ello se verifica la regla usual de la sustracción: Para restar una cantidad de otra se cambia el signo del “sustraendo” y se procede como en la adición.

82 1. Las cuatro operaciones fundamentales
El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

83 1.4 Símbolos de agrupación

84 Símbolos de agrupación
Cuando un grupo de términos en una expresión algebraica van a ser manejados como un solo número, se encierran en paréntesis, ( ); en corchetes, [ ]; o bien en llaves, { }.

85 Símbolos de agrupación
Estos símbolos se usan también para indicar que se van a efectuar ciertas operaciones algebraicas y el orden en el cual deben efectuarse.

86 Símbolos de agrupación
Con objeto de efectuar las operaciones indicadas mediante el uso de los símbolos de agrupación, se necesita quitar dichos símbolos antes de llevar a cabo la operación final.

87 Símbolos de agrupación
Si la operación indicada es la adición, se puede, por el axioma de la asociatividad, omitir los símbolos de agrupación y combinar los términos en el orden que se desee.

88 Símbolos de agrupación
Si la operación indicada es la sustracción, el grupo de términos encerrados en el paréntesis precedido del signo menos, es el sustraendo.

89 Símbolos de agrupación
Si la operación indicada es la sustracción, el grupo de términos encerrados en el paréntesis precedido del signo menos, es el sustraendo. Por tanto, de acuerdo con la definición de sustracción, se cambian todos los signos del sustraendo, se omiten los símbolos de agrupación y se combinan después los términos en el orden que se desee.

90 Reglas para eliminar símbolos de agrupación
Se tiene el siguiente procedimiento para eliminar los símbolos de agrupación en una expresión algebraica: Si en una expresión algebraica es necesario eliminar la pareja de símbolos de agrupación precedido por un signo menos, debe cambiarse el signo de cada uno de los términos encerrados por estos símbolos.

91 Reglas para eliminar símbolos de agrupación
Se tiene el siguiente procedimiento para eliminar los símbolos de agrupación en una expresión algebraica: Sin embargo, si los símbolos de agrupación están precedidos por un signo más, pueden eliminarse sin ningún cambio en la expresión.

92 Reglas para insertar símbolos de agrupación
Si en una expresión algebraica es necesario insertar un par de símbolos de agrupación precedido de un signo menos, deben cambiarse los signos de cada uno de los términos que quedan encerrados.

93 Reglas para insertar símbolos de agrupación
Cuando una expresión algebraica contiene uno o más pares de símbolos de agrupación, encerrados en otro par, se eliminará primero el de más adentro.

94 Ejercicios

95 1. Las cuatro operaciones fundamentales
El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

96 1.5 Multiplicación

97 Multiplicación

98 Multiplicación Multiplicador Multiplicando

99 Multiplicación Producto

100 Factores del producto Cada uno de los números que aparecen en el producto, o el producto de dos o más de ellos, es un factor del producto.

101 Ya que cualquier número n es igual a n×1
Factores del producto Ya que cualquier número n es igual a n×1 resulta que n es un factor de sí mismo.

102 Factores del producto Cualquier número que no tenga otro factor que él mismo y uno, se llama número primo.

103 Propiedad conmutativa de la multiplicación

104 Propiedad asociativa de la multiplicación

105 Propiedad distributiva de la multiplicación

106 Ley de los signos de la multiplicación

107 1. Las cuatro operaciones fundamentales
El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

108 1.6 Exponentes en la multiplicación

109 a cuadrada

110 a cúbica

111 a a la n

112 a a la n

113 La base y el exponente

114 La base y el exponente El exponente La base

115 Primera ley de los exponentes en la multiplicación

116 Primera ley de los exponentes en la multiplicación

117 Segunda ley de los exponentes en la multiplicación

118 Segunda ley de los exponentes en la multiplicación

119 Tercera ley de los exponentes en la multiplicación

120 Tercera ley de los exponentes en la multiplicación

121 1. Las cuatro operaciones fundamentales
El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

122 1.7 Productos que incluyen multinomios

123 Multiplicación de un monomio por un multinomio

124 Multiplicación de dos multinomios

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128 1. Las cuatro operaciones fundamentales
El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

129 1.8 Los exponentes en la división

130 La división

131 La división

132 La división Dividendo Cociente Divisor

133 La división

134 La división

135 Primera ley de los exponentes en la división

136 Primera ley de los exponentes en la división

137 Segunda ley de los exponentes en la división

138 1. Las cuatro operaciones fundamentales
El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

139 1.9 Divisiones que incluyen multinomios

140 División de un multinomio entre un monomio

141 División de un multinomio entre un monomio

142 División de un multinomio entre un monomio

143 División de un multinomio entre un monomio

144 División de un multinomio entre un multinomio

145 División de un multinomio entre un multinomio

146 División de un multinomio entre un multinomio

147 División de un multinomio entre un multinomio

148 División de un multinomio entre un multinomio

149 División de un multinomio entre un multinomio

150 División de un multinomio entre un multinomio

151 División de un multinomio entre un multinomio Ejemplo 1

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161 División de un multinomio entre un multinomio Ejemplo 2

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171 1. Las cuatro operaciones fundamentales
El sistema de los números reales Definiciones básicas Adición y sustracción Símbolos de agrupación Multiplicación Exponentes en la multiplicación Productos que incluyen multinomios Los exponentes en la división Divisiones que incluyen multinomios Operaciones en que aparece el cero

172 1.10 Operaciones en que aparece el cero

173 Operaciones en que aparece el cero

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178 Operaciones en que aparece el cero

179 Operaciones en que aparece el cero

180 Operaciones en que aparece el cero

181 Operaciones en que aparece el cero

182 Operaciones en que aparece el cero

183 Operaciones en que aparece el cero

184 Operaciones en que aparece el cero

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