Máximo Común Divisor y mínimo común múltiplo

Presentación del tema: "Máximo Común Divisor y mínimo común múltiplo"— Transcripción de la presentación:

1 Máximo Común Divisor y mínimo común múltiplo

2 Contenido Introducción Máximo común divisor MCD
Métodos de obtención del MCD Mínimo común múltiplo mcm Métodos de obtención del mcm

3 Introducción Existen diversas situaciones en las que es necesario saber por ejemplo: en cuántas porciones cortar una pizza, un pastel de forma que todos los presentes puedan comer la misma cantidad de porciones.

4 …. En otras es necesario realizar operaciones básicas como la suma y resta de fracciones heterogéneas, simplificación de fracciones, etc. El Máximo común Divisor y Mínimo Común Múltiplo se aplican para la resolución de problemas relacionados con las situaciones descritas anteriormente

5 Máximo común divisor MCD
El máximo común divisor de dos números es el mayor de los divisores comunes de esos números. Ejemplo: MCD (15,36) = 3 Divisores de 15 Divisores de 36 1 3 3 6 9 MCD Divisores comunes

6 Métodos de obtención del MCD
Por descomposición en factores primos 2. Algoritmo de Euclides para obtener el MCD 3. Usando el mínimo común múltiplo

7 Método 1: Por descomposición en factores primos
Se descomponen los números en factores primos. Se toman los factores comunes con menor exponente y se multiplica Ejemplo: Hallar el MCD(180, 240, 1400)

8 Hallar el MCD(180, 240, 1400) Paso 1 descomponemos los números en sus factores primos 2 2 2 Paso 2 Marcamos los factores primos comunes 2 3 3 5 5 7 Paso 3 Multiplicamos los factores primos comunes y obtenemos el MCD 2  2  5 = 20 MCD

9 Método 2: Algoritmo de Euclides para obtener el MCD
Sean a y b enteros positivos, entonces el máximo común divisor (MCD), de a y b es el último residuo no cero de la aplicación sucesiva del algoritmo de Euclides. MCD(a,b)  MCD(b,c) … Donde c = a mod b, c es el residuo de dividir a entre b,

10 Por ejemplo: Hallar el MCD de 689 y 234
Por lo que identificamos como MCD a 13, debido a que es el último divisor residuo (módulo) diferente de 0 MCD(689, 234) = MCD(234, 221) = MCD(221,13) = 13 Primero calculamos el módulo entre 689 y 234 el resultado es 221 …. calculamos el módulo entre 221 y 13 el resultado es 0. Luego calculamos el módulo entre 234 y 221 el resultado es 13

11 Método 3: Usando el mínimo común múltiplo
El máximo común divisor también puede ser calculado usando el mínimo común múltiplo. Si a y b son distintos de cero: El máximo común divisor de tres números se puede calcular como sigue:  MCD(a, b, c) = MCD(a, MCD(b, c))

12 Por ejemplo: Hallar el MCD de 6 y 8 usando el método de mcm
2 3 4 1 Cálculamos el mcm de 6 y 8 mcm(6,8) = 2x2x2x3 = 24

13 Mínimo Común Múltiplo m.c.m.
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número de los múltiplos comunes a ellos, distinto de 0. El m.c.m. de dos números primos es el resultado de la multiplicación de ambos Ejemplo: El m.c.m.(13 , 7) =91

14 Métodos de obtención del mcm
Por intersección de conjuntos de múltiplos Por descomposición en factores primos

15 Método 1: Por intersección de conjuntos de múltiplos
Ejemplo Hallar: El m.c.m.(12 , 15) =60 Múltiplos de 15 Múltiplos de 12 24 36 120 60 …. m.c.m es el menor múltiplos comunes

16 Método 1: Por descomposición en factores primos
Otra forma de encontrar el m.c.m. de dos o mas números es multiplicando los factores primos comunes y no comunes. Ejemplo: mcm(28,10)=2x2x5x7=140 2 5 7 Factores primos comunes y no comunes de 28 y 10

17 Aplicaciones del mínimo común múltiplo
Suma de fracciones El m.c.m. se puede emplear para sumar o restar fracciones de distinto denominador, tomando el m.c.m de los denominadores de las fracciones, y convirtiéndolas en fracciones equivalentes que puedan ser sumadas o restadas. 

18 Ejemplo: Resolver Solución: Calculamos el m.c.m. (12, 20 y 6) es 60, transformando las fracciones se tiene:

19 Bibliografía Matemáticas B, Pedro Antonio Gutierrez Figueroa, Ed. La hoguera, 2001. Dominando las Matemáticas, AritmeticaII, L. Galdos,2005. Matemáticas 6, Ediciones Santillana, 2000