SUMA Y RESTA DE MONOMIOS O Para poder sumar y restar monomios tienen que ser semejantes. O Si son semejantes, para sumarlos/restarlos basta con sumar/restar.

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2 SUMA Y RESTA DE MONOMIOS O Para poder sumar y restar monomios tienen que ser semejantes. O Si son semejantes, para sumarlos/restarlos basta con sumar/restar sus coeficientes y conservar la parte literal

3 SUMA DE MONOMIOS Para sumar monomios se suman los coeficientes y se deja la misma parte literal. Hay que tener en cuenta que solamente se pueden sumar los monomios que son semejantes. axn + bxn = (a + b)xn Ejemplo de suma de monomios: 4x2y3z + 5x2y3z = 9x2y3z RESTA DE MONOMIOS Para restar monomios se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. Hay que tener en cuenta que solamente se pueden restar los monomios que son semejantes. axn - bxn = (a - b)xn Ejemplo de suma de monomios: 4x2y3z - 5x2y3z = -x2y3z

4 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Al multiplicar dos monomios obtenemos otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y la parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base. Y ya sabemos que la multiplicación de potencias de la misma base es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. ax n · bx m = (a · b)x n + m Ejemplo de multiplicación de monomios: (4x 2 y 3 z) · (3y 4 z 2 ) = 12x 2 y 7 z 3 Al multiplicar un número por un monomio obtenemos otro monomio semejante cuyo coeficiente será el producto del coeficiente del monomio por el número en cuestión. b ∙ ax n y = (b ∙ a) x n y Ejemplo de multiplicación de un número por un monomio: 3 · (2x 2 y 3 z) = 6x 2 y 3 z

5 DIVISIÓN DE MONOMIOS Para dividir monomios hay que tener en cuenta siempre que el grado del dividendo debe ser mayor o igual que el grado del divisor. Además, solamente se pueden dividir los monomios que tengan la misma parte literal. Cuando dividimos monomios obtenemos otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes de los monomios y como parte literal la división de las potencias que tengan la misma base. Y ya sabemos que la división de potencias de la misma base es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. ax n : bx m = (a : b)x n − m Ejemplo de división de monomios: 8x 3 y 4 z 2 : 2x 2 y 2 z 2 = 4xy 2

6 Suma de polinomios Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. P(x) = 2x 3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x 2 + 2x 3 1.Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x 3 − 3x 2 + 4x P(x) + Q(x) = (2x 3 + 5x − 3) + (2x 3 − 3x 2 + 4x) 2.Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x 3 + 2x 3 − 3 x 2 + 5x + 4x − 3

7 Resta de polinomios La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. P(x) − Q(x) = (2x 3 + 5x − 3) − (2x 3 − 3x 2 + 4x) P(x) − Q(x) = 2x 3 + 5x − 3 − 2x 3 + 3x 2 − 4x P(x) − Q(x) = 2x 3 − 2x 3 + 3x 2 + 5x− 4x − 3 P(x) − Q(x) = 3x 2 + x − 3

8 Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número. 3 · ( 2x 3 − 3 x 2 + 4x − 2) = 6x 3 − 9x 2 + 12x − 6 Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. 3 x 2 · (2x 3 − 3x 2 + 4x − 2) = 6x 5 − 9x 4 + 12x 3 − 6x 2 Multiplicación de polinomios P(x) = 2x 2 − 3 Q(x) = 2x 3 − 3x 2 + 4x Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. P(x) · Q(x) = (2x 2 − 3) · (2x 3 − 3x 2 + 4x) = = 4x 5 − 6x 4 + 8x 3 − 6x 3 + 9x 2 − 12x = Se suman los monomios del mismo grado. = 4x 5 − 6x 4 + 2x 3 + 9x 2 − 12x Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo: Multiplicación de polinomios P(x) = 2x 2 − 3 Q(x) = 2x 3 − 3x 2 + 4x Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. P(x) · Q(x) = (2x 2 − 3) · (2x 3 − 3x 2 + 4x) = = 4x 5 − 6x 4 + 8x 3 − 6x 3 + 9x 2 − 12x =

9 P(x) = x 5 + 2x 3 − x − 8 Q(x) = x 2 − 2x + 1 P(x) : Q(x) A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan. A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x 5 : x 2 = x 3 Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo: Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. 2x 4 : x 2 = 2 x 2 Procedemos igual que antes. 5x 3 : x 2 = 5 x Volvemos a hacer las mismas operaciones. 8x 2 : x 2 = 8 10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo. x 3 +2x 2 +5x+8 es el cociente. P(x) = x 5 + 2x 3 − x − 8 Q(x) = x 2 − 2x + 1 P(x) : Q(x) A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan. A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. DIVISIÓN DE POLINOMIOS La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo. De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos, se cumplirá que

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11 La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton. binomio Podemos observar que: El número de términos es n+1. Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia. triángulo de Tartaglia En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.

12 POTENCIA DE MONOMIOS La potencia de un monomio se realiza elevando cada elemento de este monomio al exponente de la potencia. (ax n ) m = a m · x n · m Ejemplo de potencia de monomios (3x 3 ) 3 = 3 3 · (x 3 ) 3 = 27x 9

13 PRODUCTOS NOTABLES Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable). Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

14 El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad. Demostración: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2

15 La Factorización se fundamenta en el Teorema de Factorización Única, que afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Por ejemplo, 42 = 2 x 3 x 7, y no hay ninguna otra factorización de 42 en números primos, salvo en el orden de los factores, que no afecta en la multiplicación por tener la propiedad conmutativa. Por este motivo se enuncia el Teorema como de Factorización Única.

16 Para descomponer un número en producto de factores primos, procedemos de la siguiente manera: Escribimos el número a descomponer y a la derecha trazamos una línea vertical.  Buscamos el menor número primo, (2, 3, 5, 7...), por el que sea divisible el número. (Aplicamos los criterios de divisibilidad para saber si la división será exacta o no).  Dividimos el número por ese número primo.  Colocamos el divisor (el número primo) en la parte superior derecha y el cociente debajo del primer número.  Repetimos el proceso hasta que en la parte izquierda aparezca un 1, lo que nos indica que la descomposición ha terminado. (Recordar que el número 1 es especial y no se considera primo ni compuesto

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18 UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO es toda expresión de la forma: ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0. Se resuelve mediante la siguiente fórmula: Fórmula

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