El Teorema del valor medio

Presentación del tema: "El Teorema del valor medio"— Transcripción de la presentación:

1 El Teorema del valor medio
Propiedades básicas Teorema de Rolle revisado El Teorema del valor medio Corolarios del Teorema del valor medio Teorema del valor medio

2 Teorema del valor medio
Propiedades básicas Recordemos la primera regla de diferenciación 1 La derivada de una función constante es 0: D(c) = 0. Los próximos resultados se obtienen inmediatamente a partir de la definición de la derivada: 2 Supongamos que f es derivable y creciente. Entonces f’(x) ≥ 0 para todo x. Nosotros queremos trabajar con las implicaciones en sentido. Probaremos (trabajando en un INTERVALO): 3 Si f’(x) = 0 para todo x, entonces f es una función constante. 4 Si f’(x) > 0 para todo x, f es creciente. Probaremos 3 y 4 mediante el Teorema del valor medio, que es un poderoso resultado sobre funciones diferenciables. Teorema del valor medio

3 Teorema del valor medio
Teorema de Rolle Nuestro punto de inicio es: Sea f una función tal que: f es continua en el intervalo cerrado [a,b], f es derivable en el intervalo abierto (a,b), y f(a)=f(b). Entonces existe un punto c(a,b) tal que la derivada de f se anula, es decir, f’(c) = 0. Teorema Teorema de Rolle gráficamente El Teorema de Rolle afirma que, si f(a) = f(b), entonces existe un punto c entre a y b tal que la tangente a la gráfica de f en (c,f(c)) es horizontal. a c b Teorema del valor medio

4 El Teorema del valor medio
Sea f una función continua en [a,b] y diferenciable en (a,b). Entonces existe un punto c  (a,b) tal que f(b) – f(a) = f’(c) (b – a). Teorema El Teorema del valor medio gráficamente a c b El teorema también se puede escribir como f’(c) = (f(b) – f(a) )/ (b – a). Por lo tanto el Teorema del valor medio asegura que entre a y b existe un punto c tal que la tangente a la gráfica de f en (c, f(c)) es paralela al segmento que une los puntos(a,f(a)) y (b,f(b)). Teorema del valor medio

5 El Teorema del valor medio
Sea f una función continua en [a,b] y diferenciable en (a,b). Entonces existe un punto c  (a,b) tal que f(b) – f(a) = f’(c) (b – a). Teorema Prueba Se considera la función Claramente g es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b). Verifica: g(a) = f(a), y g(b) = f(b) + (b – a)(f(a) – f(b))/(b – a)= f(a) = g(a). Podemos concluir que g cumple las condiciones del teorema de Rolle. Teorema del valor medio

6 El Teorema del valor medio
Sea f una función continua en [a,b] y diferenciable en (a,b). Entonces existe un punto c  (a,b) tal que f(b) – f(a) = f’(c) (b – a). Teorema Prueba (continuación) El teorema de Rolle aplicado a la función nos dice que existe un número c tal que g’(c) = 0. Por lo tanto 0 = g’(c) = f’(c) + (f(a) – f(b))/(b – a). Por tanto queda demostrado el Teorema del Valor Medio. Teorema del valor medio

7 Corolario del Teorema del Valor Medio
Supongamos que una función f es diferenciable en el intervalo abierto (a,b). Si f’(x) = 0 para todo x  (a,b), entonces f es una función constante. Prueba Por el el Teorema del Valor Medio:  x1 y x2 , a < x1  x2 < b,  c  (x1, x2 ) tal que f(x2 ) – f(x1) = f’(c) (x2 – x1). Como por hipótesis f’(c) =0 se tiene que f(x2) = f(x1), es decir, f es una función constante. Teorema del valor medio

8 Teorema del valor medio
Funciones crecientes Teorema Supongamos que la función f es siempre diferenciable en el intervalo abierto (a,b), y que f´(x) > 0 para todo x  (a,b). Entonces f es creciente en (a,b). Prueba Sea x1 < x2. Tenemos que demostrar que f(x1) < f(x2). Por el Teorema del valor medio,  c  ( x1, x2) tal que f(x2) – f(x1) = f’(c) (x2 – x1). Como por hipótesis f’(c) > 0 también f’(c)(x2 – x1) > 0, y por tanto f(x2) – f(x1) > 0. Esto implica que f(x1) < f(x2). Teorema del valor medio

9 Funciones crecientes (2)
Nota La condición “f’(x) > 0 para todo x” del teorema anterior puede ser menos estricta: es suficiente que f’(x) > 0 para todo x excepto para un número finito de valores de x. y=x3 Ejemplo La función f(x) = x3 es estrictamente creciente aunque la derivada f’(x) = 3x2 toma el valor 0 para x = 0. Teorema del valor medio

10 Funciones decrecientes
Teorema Supongamos que una función f es diferenciables en el intervalo abierto (a,b), y que f´(x) < 0 para todo x  (a,b). Entonces f es decreciente en (a,b). Prueba Podíamos repetir el proceso del teorema anterior. Sin embargo, es más fácil ver que si f’(x) < 0 para todo x, entonces la derivada de la función g(x) = –f(x) es positiva para todo x. Por lo tanto g cumple las condiciones del teorema anterior. Consecuentemente g es creciente. Así pues f = –g es decreciente. Teorema del valor medio

11 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä