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Introducción a Límites de Funciones Definición heurística de los límites finitos de una función Ejemplos de cálculo de límites Límites infinitos y asíntotas.

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1 Introducción a Límites de Funciones Definición heurística de los límites finitos de una función Ejemplos de cálculo de límites Límites infinitos y asíntotas Resumen Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

2 Límites de Funciones Definición Ejemplo Notación Una función f tiene el límite finito L en el punto x 0 si los valores f(x) se acercan al número finito L cuando la x se acerca a x 0 pero no es x 0. Observar que el valor de f en x 0 no importa para calcular el valor del límite (puede no existir). El límite puede existir incluso si la función no está definida para x =x 0. La función Tiene límite 0 cuando x 0 a pesar de que f(0) = 1. Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

3 Primeros Pasos para Calcular Límites Para calcular el límite de f para x 0, lo primero que hay que hacer es evaluar la función en x = x 0. Si el valor de la función es un número definido, entonces, en la mayoría de los casos, este es el límite. Ejemplo Calcular el límite Solución Evaluando para x = 1, obtenemos el valor 0. Concluimos que Esto es correcto, como puede verse reescribiendo la expresión: Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

4 Primeros Pasos para Calcular Límites Sustituir el límite no siempre nos lleva a resultados correctos incluso si el valor de la función en el límite está bien definido por la sustitución. Como ejemplo para una situación así, introduce la función floor x definida como x = el mayor entero x. Tenemos 0.1=0,0.1= 1, 2.0=2. El valor 1 para el límite sale de que 0 < x < 1, x = 0, y x= 1. Por tanto f(x) = 1 para todo x, 0 < x < 1. Como f(x) = f(x), f(x) = 1 también para todo x, 1 < x < 0. Por lo tanto, como la función toma siempre el valor -1 para todo x satisfaciendo que 0 < |x 0| < 1, el límite de la función f en 0 es 1. Ejemplo Sea f(x) = x + x. Claramente f(0) = 0, pero Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

5 Averiguar Límites con Cálculos en Puntos Cercanos Valor de x Valor de x En general, podemos encontrar el límite simplemente calculando los valores de la función cerca del punto límite. Ejemplo Encontrar el valor del límite Calculando valores de cerca de x = 1. Solución Se concluye que el límite es aparentemente 2. Este es el resultado correcto, como demostraremos más adelante con otros métodos. Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

6 Averiguar Límites con Cálculos en Puntos Cercanos Valor de x No nos podemos fiar siempre de las calculadoras. Ejemplo Averiguar el valor del límite calculando valores de próximos a x = 0. Solución El límite parece ser 0. Este resultado es incorrecto. Para valores positivos de x menores que 0.001, una calculadora da el valor 0 como resultado. Estos problemas surgen por los errores de redondeo Calculando por el método de reescribir, observamos que: Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

7 Errores de Redondeo Las siguientes gráficas de la función muestran los errores de redondeo en el cálculo de valores de la función < x < < x < 1 Estas gráficas, obtenidas por un programa informático, muestran el error del redondeo. La gráfica de la izquierda muestra correctamente el comportamiento de la función f cerca de x = 0. Al aproximarnos al origen, observamos que se ha cometido un error por el redondeo. Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

8 Límites Infinitos Definición Notación Una función f tiene límite + en el punto x 0 si los valores f(x) se hacen muy grandes al aproximarse x al punto x 0. Ejemplo Debido a que, cuanto más se aproxima x a 0, 1/x 2 se hace mayor. Por ejemplo, si x = 0.01, Que significa que la gráfica de dicha función tiene una asíntota vertical en x = 0. Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

9 Límites Infinitos Definición Notación Una función f tiene límite en el punto x 0 si los valores f(x) se hacen muy grandes y negativos al aproximarse x a x 0. Ejemplo Debido a que cuanto más se aproxima x a 0, (x1)/x 2 es un número negativo muy grande. Por ejemplo, si x = 0.01, También en este caso, que sea significa que la gráfica de la función tiene una asíntota vertical en x = 0. Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

10 Límites en el Infinito Definición Notación Una función tiene límite L cuando x se aproxima a + o, si los valores de f(x) se aproximan al valor L cuando x se hace suficientemente grande (positiva o negativa). Ejemplo Debido a que cuando x crece, 1/x 2 se aproxima a 0. Por ejemplo, si x = 1000, Que significa que la gráfica de la función tiene la asíntota horizontal y = 0. y Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

11 Cálculo de Límites en el Infinito Para calcular límites en el infinito, se pueden seguir los siguientes pasos: 1. (nº >0) = 2. (nº <0) = 3. + (cualquier nº finito) = 4.(cualquier nº)/ = 0 ¡CUIDADO! Estas son indeterminaciones:, 0 0, / Ejemplo ya que Porque tanto 1/x como 1/x 2 tienden a 0 cuando x es muy grande. Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

12 Resumen El límite de una función cuando x tiende a x 0 es el número al que se aproximan los valores de f cuando x x 0. Aproximar quiere decir que los valores de f se acercan al límite cuando x se acerca lo suficiente a x 0. CUIDADO El valor de la función en x = x 0 no afecta para nada al límite. x0x0 L ε ε δδ Acercarse al valor límite significa acercarse más que cualquier distancia positiva dada ε por pequeña que sea. Acercarse a x 0 se expresa como la existencia de un número positivo δ como en la imagen. Funciones/ Límite de Funciones/Introducción al Límite de Funciones.

13 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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