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CP: EJE RADICAL CP_5 Prof. José Juan Aliaga Maraver.

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1 CP: EJE RADICAL CP_5 Prof. José Juan Aliaga Maraver

2 Lugar Geométrico de la Suma/Diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos a B a/2 A mh MH c c 2 = h 2 + ( a/2 + MH ) 2 b 2 = h 2 + ( a/2 – MH ) 2 b 2 + c 2 = 2h 2 + a 2 /2 + 2MH 2 = a 2 /2+2m 2 b 2 + c 2 = 2h 2 + a 2 /2 + 2MH 2 = a 2 /2 +2m 2 m 2 = h 2 + MH 2 b 2 - c 2 = - 2aMH b C

3 El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de los cuadrados de las distancias a dos puntos fijos B y C es una cantidad constante k es una recta ortogonal a BC cuya distancia al punto medio de BC es d=K/2BC. Aplicación-.Ejes radical,diametral y ortodiametral. a B d=k/2a A mh MH dB 2 =k+dc 2 dc Lugar Geométrico de la Diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos.C

4 a B a/2 A mh MH cb C b 2 - c 2 = - 2aMH = cte Para que la igualdad sea constante la distancia MH tiene que serlo tambiénPara que la igualdad sea constante la distancia MH tiene que serlo también Al ser fija la distancia entre los puntos, a es constanteAl ser fija la distancia entre los puntos, a es constante MH es la proyección de la mediana sobre BCMH es la proyección de la mediana sobre BC para que la proyección de la mediana sobre BC permanezca constante, el punto A tiene que moverse sobre la recta hpara que la proyección de la mediana sobre BC permanezca constante, el punto A tiene que moverse sobre la recta h Lugar Geométrico de la Diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos.

5 Eje radical El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano –que son centros de circunferencias ortogonales a dichas circunferencias –que tienen igual potencia respecto a dichas circunferencias –desde los cuales se pueden trazar segmentos tangentes de igual longitud a las circunferencias

6 R R 1 d1d1d1d1 d2d2d2d2 2 d 1 2 = 1 2 +R 2 d 2 2 = 2 2 +R 2 d d 1 2 = = cte Eje radical El lugar geométrico de los centros C o de todas las circunferencias c o ortogonales a c 1 y c 2 son los puntos del eje radical e exterior a c 1 y c 2. Circunferencias ortogonales a dos dadas

7 Centro radical de tres circunferencias El Centro radical CR de tres circunferencias coplanarias es un punto de su plano: –es intersección de los tres ejes radicales de las circunferencias –tiene igual potencia respecto a dichas circunferencias –es centro de la circunferencia ortogonal a dichas circunferencias –desde el cual se pueden trazar segmentos tangentes de igual longitud a las tres circunferencias

8 Determinación del eje radical Dirección perpendicular a la recta base de los centros Potencia nula

9 Determinación del eje radical Dirección perpendicular a la recta base de los centros Circunferencia auxiliar CR

10 Circunferencias ortogonales a tres dadas: Centro radical 1 2 CR

11 Casos singulares Eje radical de dos puntos Eje radical de punto y circunferencia Eje radical de punto y recta ? Eje radical de circunferencia y recta ? Eje radical de dos rectas ?

12

13 CP_5P_01 Potencia de un punto respecto de una circunferencia Trazar la circunferencia ortogonal a c 1, c 2 y c 3. Analizar diferentes modelos de solución y de datos

14 CP_5P_02 Potencia de un punto respecto de una circunferencia Trazar las circunferencias de centros A, B y C y la condición de que sean tangentes dos a dos exteriormente. A B C

15 CP_5P_03 Potencia de un punto respecto de una circunferencia Dados los puntos A, B y C, trazar tres circunferencia tangentes dos a dos con puntos de tangencia en dichos puntos A B C

16 CP_5P_04 Potencia de un punto respecto de una circunferencia Dadas tres circunferencias c 1, c 2 y c 3 y tres puntos A 1, A 2 y A 3, hallar una circunferencia c de forma que los ejes radicales de la circunferencia c con las c 1, c 2 y c 3 pasen, respectivamente por los A 1, A 2 y A 3. A1A1 A2A2 A3A3 c1c1 c2c2 c3c3

17 CP_5P_05 Circunferencias ortogonales a dos dadas Determinar la parte circular del eje de la pista de rodadura que por condiciones de terreno ha de ser tangente a la recta a, pasar por el punto P y ser ortogonal a la circunferencia c 1. a c1c1 c1c1 a P P

18 CP_5P_06 Circunferencias ortogonales a dos dadas Determinar la circunferencia ortogonal a c y que pase por los puntos A 1 y A 2. A1A1 A2A2 c


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