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FP: INVOLUCIONES FP_8 Prof. José Juan Aliaga Maraver Universidad Politécnica de Madrid.

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1 FP: INVOLUCIONES FP_8 Prof. José Juan Aliaga Maraver Universidad Politécnica de Madrid

2 Involución Una transformación convierte un elemento P 1 en P 2. P1P1P1P1 P2P2P2P2 = Q 1 F Q2Q2Q2Q2 F F = Q 2 INVOLUCIÓN NO INVOLUCIÓN Si al aplicar la transformación a P 2 = Q 1 (perteneciente Q 1 al primer conjunto) se obtiene P 1 diremos que es involutiva.

3 Centro y Potencia de involución El punto límite de una involución es el centro de involución Equidista de los puntos dobles en las involuciones hiperbólicas

4 Involuciones rectangulares Es una involución elíptica, no tiene elementos dobles a a b b

5 Centro de involución A A B B e E F G Cuatro puntos A, B, C y D, del plano pueden relacionarse mediante tres involuciones diferentes, de centros los puntos diagonales E, F y G, del cuadrivértice que determinan En la figura se ha establecido una involución sobre una circunferencia, determinándose el eje proyectivo e y el centro de involución E. Cada punto A y su homólogo A se encuentran alineados con el centro E

6 Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series superpuestas s y s. Enunciar el problema dual FP_8P_01 Involución A B B A

7 Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series superpuestas de segundo orden. Enunciar el problema dual FP_8P_02 Involución A A B B

8 Determinar el centro de involución establecido entre las series superpuestas de segundo orden. Enunciar el problema dual FP_8P_03 Involución A B A B

9 Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series superpuestas s y s. Enunciar el problema dual FP_8P_04 Involución A B B A

10 FIGURA DE ANÁLISIS B A B A s=s (B) (A) (s) (V) P FP_8P_05 Sea la recta (s), paralela al plano de proyección, dada por las proyecciones en sistema central de dos de sus puntos, obtener el punto principal V. Proyectividad

11 FIGURA DE ANÁLISIS A B V B A s=s (B) (A) (s) (V) P FP_8P_06 Proyectividad Sea la recta (s) dada por las proyecciones en sistema central de dos de sus puntos, obtener el punto I de intersección de dicha recta.

12 FIGURA DE ANÁLISIS A B C C B A s=s (C) (B) (A) (s) (V) P FP_8P_07 Proyectividad Sea la recta (s) dada por las proyecciones de tres de sus puntos, obtener el punto de intersección de dicha recta y el V del sistema central en el que está representada.

13 En proyección cilíndrica tenemos dos pares de direcciones coplanarias y perpendiculares entre sí, a-a y b-b. Obtener la dirección, también coplanaria, que sea perpendicular a r. Sistema axonométrico Perspectiva caballera a b r a a b a r b b FIGURA DE ANÁLISIS FP_8P_08 Involución

14 En proyección cónica tenemos los puntos de fuga de dos pares de direcciones coplanarias y perpendiculares entre sí, Fa-Fa y Fb-Fb. Obtener el punto principal, V, alineado con los anteriores y la potencia de la involución. FIGURA DE ANÁLISIS Fa Fb V Fa Fb (a) (b) r (a) (b) (V) Fa Fb P FP_8P_09 Involución

15 Polo y polar P P B A T1T1T1T1 T2T2T2T2Q R (ABPP)=-1


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