Transformaciones de Funciones

Presentación del tema: "Transformaciones de Funciones"— Transcripción de la presentación:

1 Transformaciones de Funciones
Funciones Definidas a Trozos Funciones deducidas a partir de otra Ecuación de la Duración del Día Funciones deducidas de otras.

2 Funciones deducidas de otras.
Funciones Definidas a Trozos (1) Definición A veces es necesario para definir una función, dar varias expresiones, que son válidas en algunos intervalos específicos. Una función así es una función definida a trozos. El valor absoluto |x| es un ejemplo de una función definida a trozos. Tenemos |x| = x si x  0 y |x| = −x si x<0. Las operaciones con valor absoluto tienen que hacerse empleando la definición de una función definida a trozos. Problema Solución Tenemos que despejar los valores absolutos de la expresión, empezando por los de más adentro. Funciones deducidas de otras.

3 Funciones deducidas de otras.
Funciones Definidas a Trozos (2) Problema Solución f(x) Funciones deducidas de otras.

4 Funciones deducidas de otras.
Transformaciones Simples (1) Sea f una función dada y a un número real. 1.5 f(x) La siguiente figura muestra cómo se transforma la gráfica de f cuando reemplazamos los valores de f(x) por a f(x). Multiplicando la función por la constante a la gráfica se alarga en la dirección vertical si a>1 y se comprime si a < 1. f(x) Multiplicando la función por una constante negativa a la gráfica se refleja primero sobre el eje x y luego se alarga en la dirección vertical si a < –1 y se comprime si 0 > a > –1. 0.5f(x) Funciones deducidas de otras.

5 Funciones deducidas de otras.
Transformaciones Simples (2) 1.5 f(x) En la gráfica, el efecto de multiplicar una función por una constante puede ser alargarse, comprimirse o, si la constante es negativa, entonces primero se refleja y luego se alarga o se comprime. f(x)+1.7 f(x) f(x)-1.7 Sumar una constante a una función significa una traslación vertical de la gráfica. La figura de la derecha muestra los diferentes casos. 0.5f(x) Funciones deducidas de otras.

6 Funciones deducidas de otras.
Transformaciones Simples (3) Sea f una función dada, y sea b un número real. El siguiente problema muestra cómo se transforma la gráfica de la función f cuando reemplazamos los valores de f(x) por f(x+b). Problema La imagen de la derecha muestra las gráficas de las funciones f(x-1), f(x) y f(x+1). ¿Cuál es cuál? x – 1 toma un valor x0 cuando x= x0 +1. f(x – 1) Solución De manera similar x+1 toma un valor x0 cuando x= x0 – 1. Concluimos que la gráfica negra tiene que ser la de la función f(x), y que las otras gráficas son las que están etiquetadas en la imagen. f(x + 1) f(x) Funciones deducidas de otras.

7 Ecuación de la Duración del Día
La gráfica de la derecha muestra las horas de sol del día en Miami y Helsinki el primer día de cada mes. El origen marca el primer día del año. Mes 18 16 14 12 10 8 6 Horas Miami Helsinki Problema Dado que el día más largo en Helsinki es de horas y el más corto horas , encontrar un modelo matemático para la duración del día en Helsinki. Datos Auxiliares El equinocio de primavera es el 21 de Marzo. Ahí la duración del día es de 12 horas. Funciones deducidas de otras.

8 Ecuación de la Duración del Día
Duración del día en Helsinki La variación de la duración del día en Helsinki parece una curva sinusoidal. Para conseguir la ecuación, debemos correr la curva y ponerle escala. Ecuación de la duración del día en Helsinki Mitad de la variación Observar que la duración del día varía alrededor de 12 horas, la duración del día durante los equinocios. Equinocio el día 80 Como el período de la función seno es 2π, debemos poner la escala de modo que 365 días correspondan a 2π. Duración media Escala de la variable En Helsinki: variación de la duración del día = horas. La mitad de la duración son 6.49 horas. Funciones deducidas de otras.

9 Ecuación de la Duración del Día
Duración del día en Helsinki Mes 18 16 14 12 10 8 6 Horas Miami Helsinki Aquí está la ecuación para Helsinki (la curva azul) fijada por los datos. La figura también muestra una curva similar para el caso de Miami. Mitad de variación Duración media Escala de la variable Funciones deducidas de otras.

10 Funciones deducidas de otras.
Resumen Manipular la escala de la variable y de los valores de la función nos da una buena herramienta para encajar funciones matemáticas conocidas con datos dados. De este modo podemos construir modelos rápidamente para ejemplos de la vida real como la duración del día en diferentes partes del mundo. Funciones deducidas de otras.

11 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä