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Problemas resueltos de la Derivada Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada.

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Presentación del tema: "Problemas resueltos de la Derivada Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada."— Transcripción de la presentación:

1 Problemas resueltos de la Derivada Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada.

2 Problemas resueltos 2 2 ¿Para qué valores de la variable la función f(x) = |x| es derivable? Hallar la derivada de la función: 3 3 ¿Es derivable la función g(x) = x 2 |x| en x = 0? 4 4 Dada la función: ¿Es derivable en x = 0? 5 5 A B 1 1 El dibujo de la derecha muestra la gráfica de una función y la de su derivada. ¿Cuál es cuál? Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada. Por definición

3 La definición de derivada Definición Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada.

4 A B Gráficas de las derivadas Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada. Problema El dibujo de abajo muestra la gráfica de una función y la de su derivada. ¿Cuál es cuál? Necesitamos utilizar el hecho de que los valores de la derivada de una función muestran la pendiente de la recta tangente. Solución c d La pendiente de la recta tangente a la gráfica A es negativa en el intervalo[c,d]. La gráfica B, la de azul, toma valores positivos en el intervalo[c,d]. Consecuentemente, la gráfica B no puede ser la gráfica de la derivada Conclusión La gráfica B es la de la función y la A, la de su derivada.

5 Derivadas por definición Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada. Problema ¿Para qué valores de la variable la función f(x) = |x| es derivable? Solución Hallando la derivada por definición obtenemos, si x > 0: Si x < 0, obtenemos, de la misma forma, f(x) = –1. Si x = 0, obtenemos De ahí, No existe límite cuando h 0. Se concluye que la función f(x) = |x| es derivable para todo x 0.

6 Derivadas por definición Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada. Problema Calculando la derivada por definición obtenemos: Mediante la definición de derivada, hallamos la derivada de la función De ahí, Solución

7 Derivadas por definición Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada. Problema Solución Hallando la derivada por definición obtenemos : ¿Es derivable la función g(x) = x 2 |x| en x = 0? De ahí, La función g tiene derivada en x = 0, siendo g(0) = 0. g(x) = x 2 |x|.

8 Derivadas por definición Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada. Problema f(x) = x cos(1/x). ¿Es derivable la función en x = 0? Comentario La gráfica de la función f muestra que f es continua en x = 0 pero puede o no tener derivada en x = 0. Para saber si existe la derivada en x = 0, debemos recurrir a hallarla por definición.

9 Derivadas por definición Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada. Problema Solución Hallando la derivada por definición obtenemos : f(x) = cos(1/x). ¿Es derivable la función en x = 0? La función cos(1/x) oscila infinitamente entre –1 y 1 cuando nos aproximamos a x = 0. Por lo que la expresión no tiene límite cuando h 0.

10 Derivadas por definición Problemas resueltos de Diferenciabilidad/Introducción a la derivada. Problema Solución (continuación) Solución (continuación) Apoyándonos en lo anterior: De ahí, que el límite no existe. f(x) = x cos(1/x). ¿Es derivable la función en x = 0? Por lo tanto, la función f no es derivable en x = 0. no tiene límite cuando h 0.

11 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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