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Tangentes, Velocidad, y Derivadas La Recta Tangente como límite de rectas secantes Rectas tangentes Aproximaciones lineales de las funciones Velocidad.

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1 Tangentes, Velocidad, y Derivadas La Recta Tangente como límite de rectas secantes Rectas tangentes Aproximaciones lineales de las funciones Velocidad La razón de cambio Introducción a la derivación: Tangentes. derivadas y velocidad.

2 La tangente como límite de las recta secantes El problema básico de la derivación es el de calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función f en un punto x 0. El punto clave, que permite calcular la pendiente de la recta tangente, consiste en que la tangente se puede calcular como el límite de las secantes, como se muestra en el dibujo. x0x0 x 0 +h f Una recta secante corta a la gráfica de una función f en dos o más puntos. Así, la figura de la izquierda muestra los puntos de corte correspondientes a la gráfica en x=x 0 y x=x 0 + h. Así, cuando h tiende a 0, la secante se aproxima a la tangente en el punto (x 0,f(x 0 )). Introducción a la derivación: Tangentes. derivadas y velocidad.

3 Pendientes de rectas secantes La pendiente de una recta secante que corta la gráfica de una función f dada, en los puntos de abscisas x=x 0 y x=x 0 + h y puede calcularse fácilmente a partir de la figura de abajo. x0x0 x0+hx0+h f h f(x 0 +h) f(x 0 ) f(x 0 +h)- f(x 0 ) Cuando h tiende a 0, la secante se aproxima a la tangente de la gráfica f en el punto (x 0,f(x 0 )). Introducción a la derivación: Tangentes. derivadas y velocidad.

4 1 1 Tangentes(1) Ejemplo Hallar la pendiente de la recta tangente de la gráfica de la función x 2 en el punto (1,1). Definición 1 La tangente a la gráfica de la función f en el punto (x 0,f(x 0 )) es la recta que pasa por dicho punto y cuya pendiente viene dada por: (Supuesto que dicho límite exista y sea finito). Introducción a la derivación: Tangentes. derivadas y velocidad.

5 Tangentes(2) Conclusión La ecuación de la recta tangente es y-1=2(x-1), ej, y=2x Ejemplo Solución La pendiente por definición es: Puede hallarse fácilmente dicho límite desarrollando el cuadrado: Hallar la pendiente de la recta tangente de la gráfica de la función x 2 en el punto (1,1). Introducción a la derivación: Tangentes. derivadas y velocidad.

6 Aproximaciones lineales de las funciones Las siguientes gráficas expresan, en diferentes escalas, la gráfica de la función x 2 y su recta tangente en el punto (1,1). 0.77

7 Velocidad (1) Si f(t) expresa la distancia en kilómetros y un tren ha circulado durante un tiempo t, t>0. Sea h>0. La distancia que el tren ha recorrido en el intervalo de tiempo [t 0, t 0 +h] es f(t 0 +h)-f(t 0 ). La velocidad media durante ese intervalo de tiempo es: (f(t 0 +h)-f(t 0 ))/h. La velocidad del tren en el tiempo t=t 0 se calcula hallando el límite cuando h tiende a 0. Estima la velocidad del tren en t=t 0. Solución Problema Conclusión La velocidad del tren en t = t 0 es Introducción a la derivación: Tangentes. derivadas y velocidad.

8 Velocidad (2) Galileo realizó experimentos que le permitieron descubrir la gravedad. Para sus experimentos, dejó caer objetos desde la Torre de Pisa. El piso superior de la torre (por encima de donde se encuentran las campanas y desde la cual los objetos se dejaron caer) tiene una altura de 48 metros. Siendo la ecuación del movimiento de un objeto en caída libre s=f(t)=4.9t 2, halla la velocidad a la cual el objeto choca con el suelo cuando éste se deja caer desde el piso superior de la torre. Ejemplo Introducción a la derivación: Tangentes. derivadas y velocidad.

9 Velocidad (3) Primero hallaremos la velocidad del objeto en un tiempo t=t 0. Por consiguiente obtendremos: Conclusión Solución Problema Velocidad en un tiempo t 0 Siendo la ecuación del movimiento de un objeto en caída libre s=f(t)=4.9t 2, halla la velocidad a la cual el objeto choca con el suelo cuando éste se deja caer desde el piso superior de la torre. Introducción a la derivación: Tangentes. derivadas y velocidad.

10 Velocidad (4) Altura de la torreEspacio recorrido en su caída Sabemos que la velocidad del objeto en caída libre en un tiempo t = t 0 es 9.8t 0 (m/s). Para hallar el tiempo que tarda el objeto en alcanzar el suelo, tenemos que despejar t en la siguiente ecuación: 48 = 4.9t 2. Se obtiene un tiempo t 3.13 segundos. Sustituyendo en la fórmula anterior obtenemos: Conclusión Solución (continuación) Problema El objeto alcanza el suelo con una velocidad de 30.7 m/s = millas por hora= km por hora Siendo la ecuación del movimiento de un objeto en caída libre s=f(t)=4.9t 2, halla la velocidad a la cual el objeto choca con el suelo cuando éste se deja caer desde el piso superior de la torre. Introducción a la derivación: Tangentes. derivadas y velocidad.

11 La derivada y la razón de cambio Definición En los ejemplos anteriores, hallamos el límite Escribiendo x = x 0 + h se obtiene: donde x = x-x 0 es el cambio de x, y f(x 0 ) = f(x) – f(x 0 ) es el correspondiente cambio para hallar los valores de la función. El cociente f(x 0 )/ x es la razón de cambio de la función en el intervalo [x 0, x 0 + x], y el límite de las razones de cambio cuando x 0, es la derivada de la función f en el punto x 0. Introducción a la derivación: Tangentes. derivadas y velocidad.

12 La derivada y la razón de cambio Definición El límite es la derivada de la función f en el punto x 0. Esta definición implica que el límite debe existir, por lo que se concluye que la función f es derivable en el punto x 0. Claramente se observa que si f es derivable en x 0, f tiene que ser continua en x 0. Sin embargo, la continuidad no implica la derivabilidad. x0x0 La función que se muestra en la figura es continua en x = x 0, sin embargo, no es derivable porque la gráfica de la función no tiene una única recta tangente en x. La tangente no es única Introducción a la derivación: Tangentes. derivadas y velocidad.

13 Aplicaciones de la derivada Dependiendo de la situación, las derivadas de las funciones se utilizan, por ejemplo, para hallar: 1.La pendiente de la recta tangente. 2.La velocidad de un objeto. 3.El índice de crecimiento de una inversión bancaria. 4.La rapidez con la que un objeto se enfría o se calienta. 5.La tasa de crecimiento o decrecimiento de una población. Introducción a la derivación: Tangentes. derivadas y velocidad.

14 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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