La descarga está en progreso. Por favor, espere

La descarga está en progreso. Por favor, espere

Problemas resueltos de inducción Problemas resueltos sobre inducción.

Presentaciones similares


Presentación del tema: "Problemas resueltos de inducción Problemas resueltos sobre inducción."— Transcripción de la presentación:

1 Problemas resueltos de inducción Problemas resueltos sobre inducción.

2 Inducción matemática Descripción Tres pasos La inducción matemática se aplica a las afirmaciones que dependen de un parámetro que suele tomar valores enteros que comienzan a partir de un valor inicial. Puede considerarse como una máquina que realiza una demostración de una afirmación para cada valor finito del parámetro en cuestión. Demostrar que la afirmación es verdadera para el primer valor del parámetro. Hipótesis de inducción: La afirmación es válida para algún valor m del parámetro. Demostrar que la afirmación es verdadera para el valor m+1 del parámetro.

3 Problemas resueltos sobre inducción. Inducción matemática Problema Demostración por inducción Si n=1, entonces la afirmación sólo dice que 1=1, lo que obviamente es correcto. Demostrar que la fórmula siguiente es verdadera para todos los enteros positivos n. Aplique la hipótesis de inducción a esta parte. Hipótesis de inducción: Debemos demostrar que:

4 Problemas resueltos sobre inducción. Inducción matemática Problema Solución Demostrar que la suma de los ángulos de un polígono convexo de n lados es (n-2). El primer valor del parámetro n es 3. Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es. Por tanto, la afirmación es válida para n=3. Hipótesis de inducción: La suma de los ángulos de un polígono convexo de m lados es (m-2). Debemos demostrar que: la suma de los ángulos de un polígono convexo de (m+1) lados es (m-1). Esto se obtiene de las partes 1 y 2, mediante la descomposición de un polígono de (m+1) lados en una unión de un polígono de m lados y un triángulo, tal y como se indica en la imagen de la derecha. De la imagen se deduce que la suma de los ángulos de polígono azul de (m+1) lados de la izquierda es (m-2)+ = (m-1). La suma de los ángulos del triángulo rojo es. La suma de los ángulos del polígono azul de m lados es (m-2) por 2).

5 Problemas resueltos sobre inducción. Inducción matemática Problema Hallar una expresión para f n y demostrarla por inducción. Solución Fórmula Sea y Realizar el cálculo manualmente o mediante un CAS

6 Problemas resueltos sobre inducción. Inducción matemática Demostración 1 Afirmación 2 Sea y Entonces, Si insertamos n = 0 en la fórmula, obtenemos que es verdadero. Supongamos que

7 Problemas resueltos sobre inducción. Inducción matemática Demostración (cont.) Afirmación 3 Utilizar la hipótesis de inducción para sustituir esta parte. Sea y Entonces, Debemos demostrar que la hipótesis de inducción implica Mediante un cálculo directo

8 Problemas resueltos sobre inducción. Cómo hallar una fórmula de suma Problema Obtendremos la fórmula empleando métodos que pueden aplicarse para el cálculo de sumas de potencias enteras positivas de números enteros de 0 a n. NOTA: Esto tiene importantes aplicaciones en la integración Solución En este caso sólo hemos invertido el orden de la suma. Conclusión Esto se basa en que S(n) es una suma de n polinomios, cada uno de ellos de grado 3 en n. Como puede que el resultado sea nulo, el grado debe ser < 4. Halle una fórmula para la suma Comenzaremos observando que Después, observemos que es un polinomio de grado en n. Por ello,

9 Problemas resueltos sobre inducción. La suma como polinomio Problema Aquí sólo hemos utilizado la definición de la suma S(n). Conclusión Propiedades del polinomio S(n): 1.S(0) = 0. 2.S(n + 1) = S(n) + (n + 1) 3. Método Hallar los coeficientes a k utilizando las condiciones 1 y 2 del polinomio S(n). Hallar una fórmula para la suma es un polinomio de gradoen n. Un polinomio general de grado es

10 Problemas resueltos sobre inducción. Propiedades del polinomio suma Condiciones Para determinar los coeficientes a k, k = 1,…,3, utilizamos la 2ª condición. La última ecuación debe ser válida para todos los valores de n. Los polinomios de los dos lados de la ecuación son iguales si y sólo si los coeficientes de los diversos términos del orden también lo son. Esto da lugar a ecuaciones para los coeficientes a k. La 1ª condición para S( n ) implica que Por ello, La 2ª condición para S( n ) implica que

11 Problemas resueltos sobre inducción. Cálculo de los coeficientes Condiciones Este sistema de ecuaciones lineales se resuelve por eliminación. La 2 a ecuación da como resultado a 4 =1/4. Si sustituimos este valor en la 3 a ecuación obtenemos a 3 =1/2. Si sustituimos estos valores en la 4 a ecuación, tenemos a 2 =1/4. Entonces, el valor de a 1 proviene de la última ecuación. correspondiente a los polinomios en la variable n sólo es válida si los coeficientes de los polinomios son iguales. Por lo tanto, obtendremos: La ecuación

12 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Problemas resueltos sobre inducción.


Descargar ppt "Problemas resueltos de inducción Problemas resueltos sobre inducción."

Presentaciones similares


Anuncios Google