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Relaciones entre funciones Aplicaciones de la derivada /Relaciones entre funciones.

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1 Relaciones entre funciones Aplicaciones de la derivada /Relaciones entre funciones

2 Estimación de Funciones Las aplicaciones de la derivación para probar igualdades y desigualdades están basadas en una consecuencia del Teorema del Valor Medio: Teorema A Si f es derivable en un intervalo abierto y f(x) = 0 para todo x, entonces f es una función constante. Teorema B Si f es derivable en un intervalo abierto y f(x) > 0 para todo x excepto por un numero finito de puntos, entonces f es estrictamente creciente. NOTA: Se supone que f(x) es derivable en un intervalo abierto. Por lo tanto estas conclusiones no se pueden aplicar en casos generales donde la función no esté definida en un intervalo determinado. Por ejemplo, la función f(x) = |x|/x definida para x 0, es derivable en su dominio, su derivada es nula, pero la función no es constante.

3 Igualdades funcionales(1) Ejemplos 1 1 Demostración No hace falta ningún cálculo para demostrar esta fórmula, aunque para obtener muchas fórmulas de derivación se necesita esta igualdad trigonométrica. Pero es recomendable ver como se hace utilizando el cálculo diferencial. Consideremos la función f( x ) = cos 2 x + sin 2 x. Derivando obtenemos: f(x) = 2 cos(x)(-sin(x))+2sin(x)cos(x) = 0. Por lo tanto f es una función constante. Como f(0) = 1, f(x) = 1 para todos los posibles valores de x. Demostrar que cos 2 ( x ) + sen 2 ( x ) = 1. Aplicaciones de la derivada /Relaciones entre funciones

4 Igualdades Funcionales(2) Ejemplos 2 2 Demostración Demostrar que para x 0. Consideremos la función Derivando obtenemos que f(x) = 0 para todo x 0. La derivada es algo complicada (podéis usar WIRIS o cualquier otro programa matemático para ello). Por lo que podemos afirmar que f es una función constante. Como f(0) = 0 tenemos que f(x) = 0 para todo x. Aplicaciones de la derivada /Relaciones entre funciones

5 Igualdades Funcionales(3) Solución Consideremos la función: f(x) = arctg(cotgh(x)) – arccotg(e 2x ). La función f está definida para x 0. En x = 0 la función f no está definida porque cotgh(0) no existe. Demostrar que: Derivando (utilizando el ordenador) obtenemos que f(x) = 0 para todo x 0. Ejemplos Aplicaciones de la derivada /Relaciones entre funciones

6 Igualdades Funcionales(4) Solución Si f(x) = 0 para la función f(x) = arctg (coth(x)) – arccotg(e 2x ), el Teorema del Valor Medio implica que: f(x) = C 1 una constante para todo x > 0 f(x) = C 2 otra constante para x < 0. Para determinar dichas constantes C 1 y C 2 hay que observar que y que Posteriormente hallamos los limites, teniendo en cuenta que: Estas constantes C 1 y C 2 pueden no ser iguales si f no está definida en x=0. Ejemplos Aplicaciones de la derivada /Relaciones entre funciones

7 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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