Integrales impropias. La función gamma.

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1 Integrales impropias. La función gamma.
Definición de Integrales Impropias La función no está acotada en el Intervalo de Integración Integrales Impropias Básicas Teorema de comparación Función Gamma Integrales impropias. La función gamma.

2 Integrales impropias. La función gamma.
Definición Una integral es impropia si: El intervalo de integración no está acotado. La función no está acotada dentro del intervalo. Ejemplos 1 2 3 Integrales impropias. La función gamma.

3 Definición de Integrales Impropias
Ejemplo Integrales impropias. La función gamma.

4 Singularidades (asíntotas) en el Intervalo de Integración
Definición Integrales impropias de funciones f, no acotadas en b o en algún punto interior del intervalo de integración se definen en forma similar. Ejemplo Integrales impropias. La función gamma.

5 Integrales impropias. La función gamma.
En general Las definiciones anteriores se generalizan a los casos en que en uno de los extremos de los intervalos la función tiende a menos infinito o en que un punto singular de la función se encuentra en el intervalo de integración. Ejemplos La integral es convergente 1 2 La integral es divergente. Integrales impropias. La función gamma.

6 Integrales Impropias Básicas
1 2 3 4 5 Es evidente que (1)  (2) y que (3)  (4). Para probar estos resultados sólo es necesario hacer unos cálculos sencillos. Integrales impropias. La función gamma.

7 Convergencia de las Integrales Impropias
A menudo no es posible calcular el límite en la definición de una determinada integral. Con el fin de saber si converge o no podemos conparar la función que se va a integrar con la de otra integral que ya conozcamos, que sea convergente o divergente. Integrales impropias. La función gamma.

8 Teorema de Comparación
La integral impropia converge si el área que hay debajo es finita. Demostramos que es cierto comprobando que el área debajo de la curva azul es finita. Como el área que encierra la curva roja es más pequeña que la azul, entonces la primera también es finita. Es decir, la complicada integral impropia converge. Integrales impropias. La función gamma.

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Ejemplos (1) Para mostrar que el área que encierra la curva azul de la figura anterior es finita, se puede calcular de la siguiente manera: Integrales impropias. La función gamma.

10 Teorema de Comparación
Observación Integrales impropias. La función gamma.

11 Función de Distribución Normal
Esto ya se ha demostrado antes. Por tanto, concluimos que la integral converge. El mismo argumento permite probar que también converge Por tanto la integral converge Integrales impropias. La función gamma.

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Ejemplos (2) Problema Solución La integral impropia es uno de los tipos básicos de integrales impropias y es divergente. Por tanto, por el Teorema de Comparación, la integral diverge. Integrales impropias. La función gamma.

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Ejemplo (3) Problema Enfoque heurístico Integrales impropias. La función gamma.

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Ejemplos (4) Problema Solución rigurosa La divergencia de la integral se justifica por el teorema de comparación con el siguiente argumento: Integrales impropias. La función gamma.

15 Ejemplo: función Gamma
Problema Solución La integral que define la función gamma es impropia porque el intervalo de integración es infinito. Si 0 < x < 1, la integral es también impropia, porque entonces la función a integrar tiene una asíntota en x=0, el extremo izquierdo del intervalo de integración . Observar que la integral converge si p > -1. Caso 1. 0 < t < 1. Este cálculo requiere la suposición de que p > -1, i.e., tal que p + 1 > 0. Esto permite concluir que ap+1  0 si a  0. Integrales impropias. La función gamma.

16 Ejemplo: función Gamma
Problema Solución (continuación) Observemos que, si t > 0 se tiene que Por tanto, la integral converge por el teorema de comparación y por el hecho de que converja para p > -1. Caso 1. 0<t < 1 Caso 2. t> 1. Para mostrar la convergencia de utilizamos que Por tanto existe un número bx que para t > bx. Esto significa que para t > bx. Por tanto, la integral converge por el teorema de comparación dado que la integral converge como puede comprobarse por un cálculo directo. Integrales impropias. La función gamma.

17 Ejemplo: función Gamma
Problema Solución Sea x > 0 . Simplificamos la integral impropia definiendo la función gamma a través de tres funciones: Conclusión 1 converge si x>0. 2 es una integral definida que converge. 3 converge. Concluimos que la integral converge. Integrales impropias. La función gamma.

18 Cálculo en una variable
Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä Integrales impropias. La función gamma.