El Diferencial de una función. 21 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable. El Diferencial de una función.
Habilidades Define el proceso de linealización de una función en un número dado. Calcula el diferencial de una función en un número dado. Interpreta geométricamente los conceptos de incremento y diferencial. Resuelve problemas de modelación usando diferenciales 2 2
Aproximación Lineal Definición Usamos la recta tangente a f en el punto (a, f(a)), como una aproximación a la curva y = f(x), cuando x está cerca de a. a x Recta tangente: Definimos la linealización de f en a como: Aproximación lineal de f en a: cerca de a 3 3
Ejemplo 1. Encuentre la linealización de la función en a = 1 y úsela para aproximar y 4 4
Diferencial de una función Definimos el diferencial de una función f en a, como: Se utiliza = h: Definición a a + h f ’ (a) h h f(a + h) - f(a) Aproximamos el cambio o incremento de f en a, mediante el diferencial de f en a, cuando x está cerca de a: f(a+h) – f(a) f ’(a) h Es decir: 5 5
Diferencial de una función Teorema Consideremos la función: Se sabe que: Así tenemos que: y además Por lo que podemos escribir: En forma general: 6 6
Ejemplo 2 Sea compare los valores de ∆y y dy si x cambia (a) de 2 a 2.05. (b) de 2.01 a 2.
Ejemplo 3 Se midió el radio de una esfera y se encontró que es 21 cm. con un posible error en medición de 0.05 cm. ¿Cuál es el error máximo al usar este valor del radio para calcular el volumen de la esfera? ¿Cuál es el error relativo?
Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart Sección 3.10 – Pág. 252. Ejercicios: 2, 3, 4, 11, 14, 16, 17, 20, 21, 34, 35, 36 y 38.