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Publicada porMaría Antonia Fidalgo Villalba Modificado hace 8 años
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46 Integrales COORDENADAS POLARES
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Habilidades Representar puntos del plano en coordenadas polares.
Deducir la relación entre el sistema cartesiano y el sistema polar. Reconocer y graficar ciertas curvas notables en coordenadas polares.
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Coordenadas Rectangulares
y y P (x, y) x x
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Coordenadas Polares (r, θ) de un Punto P
Emplea distancias y direcciones. r es la distancia de O a P. P (r, θ) θ es el ángulo entre el eje polar y el segmento OP. r θ es positivo si se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj. θ Eje Polar Polo θ en radianes.
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Si r < 0, entonces P(r,θ) se define como el punto que se encuentra a |r| unidades del polo en la dirección opuesta a la que da θ. P(r,θ) θ P(-r,θ)
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x y 1 En el sistema coordenado cartesiano, todo punto tiene sólo una representación. En un sistema de coordenadas polares cada punto tiene muchas representaciones P(2, p/3) . 2 Es decir, el punto en coordenadas polares (r; θ), se representa también por y
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9 De la grafica observe que: y x
Conexión entre el sistema Polar y el sistema cartesiano De la grafica observe que: Si P es un punto cuyas coordenadas polares son (r ; θ) entonces, las coordenadas rectangulares (x ; y) de P serán: y x q r P(x ; y) P(r ; q) Estas ecuaciones permiten hallar las coordenadas cartesianas de un punto cuando se conocen las coordenadas polares. Para hallar las coordenadas r y θ cuando se conocen x e y, se usan las ecuaciones 9
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x2 + y2 = 9 Gráficas de Ecuaciones Polares
La grafica de una ecuación polar r = f(θ), o de manera más general F(r; θ), consta de los puntos P que tienen al menos una representación polar (r; θ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Ejemplo: Trace la gráfica de la ecuación r = 3 x2 + y2 = 9 1 2 3 4 5 6
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q = p/4 tan q = tan(p/4) x = 1 y x = y
Ejemplo: Identificar y hacer la gráfica de la ecuación: q = p/4 y q = p/4 tan q = tan(p/4) q = p/2 q = p/4 q = 3p/4 x y = 1 x q = p q = 0 x = y q = 7p/4 q = 5p/4 q = 3p/2
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¿La gráfica pasa por el polo?
Resuelve: f() = 0. Si existe al menos un valor para el ángulo , la gráfica sí pasa por el polo (0; ) si no, la gráfica no pasa por el polo. ¿Cuales de las siguientes gráficas cuyas ecuaciones polares se dan, pasan por el polo? r = 2 sen r = 2 + sen
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(r ; q) (r ; -q) o q -q Simetría Si una ecuación no cambia al sustituir θ por –θ, la gráfica es simétrica respecto al eje polar o (-r ; q) (r ; q) Si una ecuación no cambia al sustituir r por –r, la gráfica es simétrica respecto al polo. (r ; p-q) (r ; q) p - q -q Si una ecuación no cambia al sustituir θ por Π – θ, la gráfica es simétrica respecto a la recta vertical q = Π/2 (eje y)
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Algunas curvas polares comunes
Círculos Cardiodes En general, la gráfica de cualquier ecuación de la forma
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Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart
Ejercicios 10.3 Pág
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