45 Integrales Longitud de arco

Presentación del tema: "45 Integrales Longitud de arco"— Transcripción de la presentación:

1 45 Integrales Longitud de arco
Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

2 Habilidades Plantear las integrales necesarias para calcular la longitud de una parte de la gráfica de una función y calcular las integrales en forma analítica cuando sea posible. Determinar la función de arco de una curva.

3 ¿Qué se entiende por longitud de una curva?

4 Al igual que los conceptos de área y volumen, el concepto de longitud de arco requiere una definición cuidadosa. Si se estudiara un segmento de recta que une P1 y P2 su longitud sería: x1 x2 P1 P2 y2 y1 |P1P2|

5 Longitud de Arco Si la curva C se define mediante la ecuación y = f(x), donde a ≤ x ≤ b, obtenemos una aproximación de C tomando una partición P de [a; b], con a = x0 < x1 < x2 < < xn = b. Los puntos Pi(xi; yi) están en la curva y el polígono de vértices Pi es una aproximación de C. La longitud de esa aproximación poligonal será: a x1 x2 xi-1 xi xn = b P0 P1 P2 Pi Pi-1 Pn C

6 Longitud de Arco La longitud anterior parece mejorar a medida que n  ∞, por lo tanto definimos: La cual como se ve no es aún una suma de Riemann, sin embargo, si f '(x) es continua, se puede escribir:

7 Teorema (Fórmula de la longitud de Arco)
Si f '(x) es continua en [a; b], la longitud de la curva definida por la ecuación y = f(x), siendo a ≤ x ≤ b, es: Que en términos de integral adopta la forma:

8 Longitud de Arco Si la ecuación de la curva es x = g(y), siendo c ≤ y ≤ d, la longitud de arco se calculará con:

9 Función de la longitud de Arco
Sea s(x) la distancia a lo largo de una curva C del punto inicial P0(a; f (a)) al punto Q(x; f (x)). Luego s es una función llamada función longitud de arco y esta determinada por la fórmula …(1) Como el integrando es continuo, entonces por el TFC 1 se tiene …(2)

10 Función de la longitud de Arco
En la ecuación (2) se muestra que la relación de cambio de s con respecto a x es siempre por lo menos 1 y es igual a 1 cuando f ’(x), la pendiente de la curva, es 0. La diferencial de la longitud de arco es Y esta ecuación se escribe a veces en la forma simétrica …(3) …(4)

11 La formula (4) se puede interpretar como una versión infinitesimal del teorema de Pitágoras de la siguiente manera x y dx ds dy C Tomemos un punto (x; y) de la curva C y tracemos la recta tangente a C en dicho punto. Consideremos el triángulo sombreado cuyos catetos miden dx y dy y el arco de la curva C tal como se muestra en la figura. Es claro que ds es aproximadamente igual a la hipotenusa del triángulo sombreado, por lo que podemos escribir (ds)2 = (dx)2 + (dy)2, el cual se conoce como el Teorema de Pitágoras infinitesimal.

12 Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart
Secciones 8.1 Ejercicios 8.1 Páginas: 530 –531