Antoni Salvà - IES Felanitx Moviment Ondulatori Antoni Salvà - IES Felanitx

3. EL MOVIMENT ONDULATORI HARMÒNIC (MOH) Ona és qualsevol tipus de pertorbació que es propaga per l’espai sense transport de matèria. Tipus d’ones segons la forma de vibració: Transversals: si la direcció de vibració és perpendicular a la direcció de propagació (ones sísmiques S, ones electromagnètiques, ones d’una corda,...) Longitudinals: si la direcció de vibració és la mateixa que la de propagació (ones sísmiques P, el so,...). © Antoni Salvà – IES Felanitx

3. EL MOVIMENT ONDULATORI HARMÒNIC (MOH) Tipus d’ones segons el tipus de pertorbació: Mecàniques: necessiten un medi per propagar-se i són causades per pertorbacions mecàniques (desplaçaments, canvis de pressió,...). Ex. ones sísmiques, el so,... Electromagnètiques: es poden transmetre tant dins medis materials com dins el buit i són produïdes per camps electromagnètics. Ex. llum, ones radio, ones telèfon, microones,... Les ones es poden propagar: En una dimensió, ones unidimensionals: per exemple el so per un fil metàl·lic, la llum laser,... En dues dimensions, ones 2D o bidimensionals: per exemple ones circulars damunt l’aigua, ones de so damunt una placa metàl·lica,... En tres dimensions, ones 3D o tridimensionals: per exemple: les ones sísmiques, les ones del so dins l’aire, les ones de telefonia mòbil, la llum d’una làmpada, etc. © Antoni Salvà – IES Felanitx

3.1 Les ones harmòniques Les ones que trobam a la natura són molt complexes, com per exemple les ones sonores produïdes pels instruments musicals. Però el físic francès Joseph Fourier (1768-1830) va descobrir que qualsevol ona, per complicada que sigui, es pot obtenir sumant ones harmòniques, és el teorema de Fourier.

3.1 Les equacions del MOH La molla situada a una distància x del focus oscil·la igual que ho fa el focus, però més tard. Necessita que passi un temps (t’) per a que li arribi la informació d’on està oscil·lant el focus. Quina és l’equació del seu moviment? Equació de d’Alembert o de les ones harmòniques unidimensionals Pot anar amb sinus o amb cosinus. Si avança cap a la dreta els signes de les dues fraccions del parèntesi són diferents. Si avança cap a l’esquerra són iguals. Representa el moviment MVHS d’una partícula a una distància x del focus.

3.2 Les magnituds del MOH Magnituds que depenen del MVHS del focus Elongació, : magnitud que oscil·la, que varia. Amplitud, A: màxima elongació. Període, T: temps per fer una oscil·lació completa. Freqüència, f = 1/T : nombre d’oscil·lacions per unitat de temps. Fase, : funció del temps. Pulsació,  = 2·/T = 2·· f: velocitat de variació de la fase. Magnituds que depenen del medi de propagació Desplaçament, x: distància al focus. Longitud d’ona, : mínima distància entre dos punts amb el mateix estat d’oscil·lació. Velocitat d’ona, vona =  / T = · f: velocitat de propagació de l’ona en la direcció X.

Problema tipus: característiques del MOH (1) Problema: Determina del següent MOH (SI): L’amplitud, la freqüència, el període, la longitud d’ona, la velocitat de propagació. La fase als 0,1 s a 1,0 m del focus. La velocitat de vibració als 0,1 s del MVHS d’un punt a 2 m del focus. Problema tipus: característiques del MOH (1) © Antoni Salvà – IES Felanitx

Problema tipus: característiques del MOH (2) Problema: Determina del següent MOH (SI): La fase inicial. La diferència de fase, Δ, entre dos punts consecutius separats 0,5 m. L’interval de temps entre dos punts la qual diferència de fase és de  rad. Problema tipus: característiques del MOH (2) © Antoni Salvà – IES Felanitx

3.3 L’energia d’una ona mecànica Un cos que es desplaça per l’espai transporta matèria, quantitat de moviment i energia. Les ones no transporten matèria, només quantitat de moviment i energia. L’energia que transporta una ona és la que li dóna el MVHS del focus: L = vona·t S m,  Imaginem que mesuram l’energia que rebem del Sol damunt un panell solar. És evident, per la nostra experiència, que: Com més superfície S del panell més energia rebrem Com més temps t mesurem més energia arribarà. Si arriba més llum, amplitud major A, tendrem més energia. Si la llum es mou més ràpid, més velocitat vona, més energia arribarà. A més freqüència f més energia. Per a les ones mecàniques, a major densitat  més energia. També de l’equació anterior deduïm que: A més longitud d’ona  menys energia.

3.4 La intensitat d’una ona mecànica La intensitat és l’energia que travessa la unitat de superfície perpendicular a la direcció de propagació. És una magnitud més útil que l’energia. Les ones planes no perden intensitat quan es propaguen, però sí ho fan les circulars i les esfèriques. Per a una esfèrica la relació d’intensitats es pot calcular així: La intensitat disminueix amb el quadrat del radi produint-se una atenuació de l’ona. Com més allunyats estiguin els punts que vibren més n’hi ha que ho fan i l’energia,que és la mateixa, s’ha de repartir entre ells.

Medi interior absorbent 3.5 L’absorció de les ones Si una ona travessa un medi material, part de la seva energia és absorbida per aquest material que la transforma en altres tipus d’energia (generalment en energia tèrmica). L’ona s’esmorteix. El científic francès Pierre Bouguer (1698-1758) va descobrir que la intensitat de la llum decreix de forma exponencial. L’alemany Johann Heinrich Lambert (1728-1777) ho va formular matemàticament . Aquesta llei és aplicable a d’altres tipus d’ones: Medi interior absorbent Medi exterior  e  i <  e v e v i < v e f e f i = f e A0 A X x La llei de Bouguer-Lambert fou completada per un altre científic alemany, August Beer (1825-1863), que estudià l’absorció de la llum en les dissolucions. Descobrí que depèn de la concentració, c, de la distància que la llum recorr dins el medi, x, i d’un coeficient, ε, que depèn de cada dissolució. És la llei de Bouguer-Lambert-Beer, de Lambert-Beer o de Beer: Aquests científics són considerats els fundadors de l’espectroscòpia.

Problema tipus: energia, intensitat i absorció Problema: Dues ones sísmiques S tenen la mateixa freqüència quan viatgen per la mateixa zona de la Terra, però una transporta el doble d’energia que l’altra. Quina relació d’amplituds hi ha entre ambdues? Problema: La intensitat d’una ona sísmica P és de 2,0 MJ/m2·s a una distància de 50 km de l’epicentre. Quina fou la intensitat quan passava per un punt situat a 10 km de l’epicentre?. Problema tipus: energia, intensitat i absorció Problema: El coeficient d’absorció d’un medi aïllant del so és 0,50 cm-1. Quina ha de ser la seva gruixa per a que la intensitat d’una ona sonora que el travessa es redueixi a la cinquena part? © Antoni Salvà – IES Felanitx

3.6 El principi de Huygens El físic holandès Christian Huygens (1629-1695) formulà un model ondulatori per explicar el comportament de la llum. La hipòtesi que feu al seu llibre Tractat de la llum (1690) es considera un principi, és el principi de Huygens: Cada punt d’un front d’ones es pot considerar com un focus secundari de noves ones elementals, i la seva envolvent és un nou front d’ones.

3.6.1 La reflexió de les ones ε’ ε La reflexió de les ones és el fenòmen que es produeix quan una ona xoca contra un medi opac. L’ona rebota i segueix el seu camí en una altra direcció dins el mateix medi pel qual viatjava. L’ona s’ha reflectida. La nova direcció es pot determinar amb una fórmula molt senzilla que es dedueix aplicant el principi de Huygens. Raig incident Raig reflectit Ones incidents Raig reflectit Raig incident A B ε Normal A’ B’ ε’ Normal Ones reflectides Medi opac Llei de reflexió © Antoni Salvà – IES Felanitx

3.6.2 La refracció de les ones La refracció és el fenòmen pel qual les ones canvien de medi de propagació. En canviar de medi canvia la velocitat de l’ona, la longitud d’ona i la direcció de propagació. L’equació que ens dóna la nova direcció de l’ona refractada pot deduir-se del principi de Huygens. Raig incident Ones incidents Raig incident A B ε Normal ε’ A’ B’ Medi transparent Llei de refracció Ones refractades Raig refractat Raig refractat © Antoni Salvà – IES Felanitx

3.6.3 La difracció de les ones La difracció fou descoberta pel jesuïta i físic dels Estats Pontificis Francesco M. Grimaldi (1618-1663). Observà que quan entra la llum del Sol dins una habitació obscura a través d’un forat molt petit, la imatge que es forma en una pared és major que el forat i els costats no són nítids, sinó borrosos i de franges de colors. La difracció és la propagació d’ones darrera obstacles o forats on, en principi, tocaria haver-hi ombre.  d  < d d    d  d  > d La difracció es pot explicar amb el principi de Huygens. En el forat, per exemple, els punts on arriba l’ona es converteixen en focus secundaris i emeten noves ones. Si el forat és gros resulten ones planes amb ombra, però si el forat és petit resulten ones esfèriques que arriben a tots els punts darrera els forats. La difracció l’observam en el so que pot arribar darrera portes obertes però no hi arriba la llum que té la longitud d’ona molt petita comparada amb les dimensions d’una porta. Les ones de TV que tenen centenars de metres poden superar obstacles com edificis, i les de radio que tenen longituds d’ona de quilòmetres poden superar muntanyes. © Antoni Salvà – IES Felanitx

3.7 La interferència d’ones El cinetífic suïs Daniel Bernouilli (1700-1782) observà que quan s’escoltava el so produït per un diapasó la intensitat del so depenia de la posició de l’observador. Els diapasons estan formats tenen forma d’U i quan vibra ha fan les dues branques. Cadascuna emet una ona i Bernouilli enunciá un porincipi de superposició: El punt on es troben dos o més moviments ondulatoris està sotmès a tants MVHSs com MO interfereixin i l’elongació resultant és la suma vectorial de les elongacions produïdes per cada moviment per separat. Si dues ones es topen en un punt i estant en fase, és a dir, al mateix temps pugen i baixen, es produeix una interferència constructiva. L’efecte de cadascuna es suma i resulta un moviment de major elongació. En canvi si les dues ones estan desfasades 180º quan una puja l’altra baixa i s’anul·len. D’aquesta manera en un punt on arriben dues ones desfasades 180º no es nota moviment. És la interferència destructiva.

Focus 2  Suposem 2 ones monocromàtiques (de la mateixa freqüència i longitud d’ona) i coherents (diferència de fase constant en el temps), emeses per focus diferents. Focus 1  En els llocs on es trobin (s1, s2) es produirà un MVHS produït per la suma d’ambdues ones. S2 = 6· S1 = 3· Interferència constructiva: es produeix quan ambdues ones estan en fase (diferència de fase 0º, 360º,...) i això només es dóna si la diferència de camins és multiple sencer de la longitud d’ona. S2 = 5,5· S2 = 4,5· S1 = 2,5· S1 = 4· Interferència destructiva: es produeix quan ambdues ones estan desfasades 180º, 540º,... i això només es dóna si la diferència de camins és multiple senar de mitja longitud d’ona.

3.8 Propietats ondulatòries de la llum 3.8.1 Experiment de Young de les 2 escletxes L’any 1801 el físic anglès Thomas Young (1773-1829) realitzà un experiment d’interferència amb la llum. Aquest experiment fou un dels més importants per demostrar la naturalesa ondulatòria de la llum. D x d s2 – s1 © Antoni Salvà – IES Felanitx

Patró d’interferència damunt la pantalla L’experiment de doble escletxa de Young es realitza amb llum de 589 nm i amb una distància entre les escletxes i la pantalla de 200 cm. El mínim que fa 10 del patró d’interferència s’observa a 7,26 nm del màxim central. Quina és la separació de les escletxes? n = 0 n = 1 n = 2 x3 m = 19 Patró d’interferència damunt la pantalla Problema tipus: interferència © Antoni Salvà – IES Felanitx

3.8.2 La polarització de les ones Y La llum que ens arriba està formada per moltes ones, cada ona vibra en una determinada direcció de l’espai, transversal a la direcció del desplaçament. En conjunt, tot el feix d’ones, vibren en totes direccions. A aquest tipus de llum l’anomenen llum no polaritzada. La llum polaritzada és la llum que totes les ones que conté vibren en la mateixa direcció. X Z La llum es pot polaritzar de diferents maneres: 1. Per absorció: Hi ha materials, els polaritzadors, que tenen la propietat de ser transparents només a les ones de llum que vibren en una determinada direcció de l’espai. Absorbeixen la resta d’ones. Així en atravessar-los llum no polaritzada surt llum polaritzada. Si posam dos polaritzadors creuats impedirem el pas de la llum. S’empren a les pantalles de cristall líquid (LCD) de calculadores,... 2. Per reflexió: La llum que s’ha reflectida en un objecte es polaritza parcialment. Per evitar-la s’empren polaritzadors a les ulleres, als vidres dels cotxes,... Reduint la intensitat lluminosa que els arriba. 3. Per doble refracció: Hi ha materials, com la calcita, que divideixen els raigs de llum que li arriben en dos, polaritzats perpendicularment. 4. Per dispersió: S’explica en la propera diapositiva.

3.8.3 La dispersió de la llum La llum que ens arriba del Sol és llum blanca, és a dir, conté tots els colors de l’espectre visible. Però les molècules de l’aire (N2 i O2 absorbeixen el color cel i deixen passar els altres colors (absorbeixen parcialment la llum). Però immediatament el tornen emetre però en una direcció qualsevol i polaritzada. Aquest fenomen s’anomena dispersió de Rayleigh. Si no tenguessim atmosfera quan mirassim una part del cel on no hi ha el sol veuriem fosca. Però veim l’atmosfera color de cel perquè de qualsevol lloc ens arriba llum dispersada per l’aire. L’atmosfera de Mart és vermellosa degut a les moltes tormenten que hi tenen lloc i escampen per l’atmosfera partícules amb ferro. Aquest fenomen el descobrí el 1859 l’irlandès John Tyndall (1820-1893) i fou estudiat a fons pel físic anglès John W. Strutt, Lord Ryleigh (1842-1919).

3.9 L’efecte Doppler-Fizeau L’efecte Doppler-Fizeau fou descobert per Christian J Doppler (1803-1853), un físic austríac, l’any 1842. Doppler se’n adonà que la freqüència del xiulet d’una locomotora de tren augmentava quan el tren s’aproximava i disminuïa quan el tren s’allunyava. L’any 1848 el físic francès Armand H.L. Fizeau (1819-1896) observà el mateix fenomen a la llum. Focus s’aproxima i observador està aturat: ara no és l’ona la que sembli viatjar més aviat sinó que a l’observador li sembla que la longitud d’ona rebuda λ’ és més curta que la real λ. Nota una freqüència f’ superior a l’emesa f. Focus en repòs i observador que s’aproxima al focus: en aquest cas a l’observador li sembla que l’ona viatja més aviat i nota una freqüència f’ superior a l’emesa pel focus f. L’equació general s’obté juntant les dues equacions: Si l’observador s’allunya li semblarà que l’ona viatja més lentament i obtendrem una fórmula a –vo. Si és el focus que s’allunya s’ha de posar –vF.

3.9.1 Aplicacions de l’efecte Doppler-Fizeau L’efecte Doppler-Fizeau té moltes aplicacions: Ús en medicina (ecografies). Permeten determinar la velocitat del flux sanguini (s’empren ones de f = 500 kHz que es reflecteixen als glòbuls vermells); també es poden observar els fetus i determinar les seves dimensions, la velocitat de batec del cor, etc. Ús a la mar: S’empren sonars que serveixen per detectar dins la mar obstacles (els submarins hi naveguen), determinar fondàries o localitzar bancs de peixos. Ús a terra: la policia empre radars d’efecte Doppler per detectar la velocitat dels vehicles. Ús en astronomia: Serví per descobrir l’allunyament de totes les galàxies (desplaçament al vermell) i s’empra per determinar-ne la seva velocitat d’allunyament. També permet detectar l’existència de planetes extrasolars observant les el moviment de la seva estrella. Si la velocitat del focus d’ones sonores és major que la velocitat d’ona les equacions de l’efecte Doppler deixen de tenir validesa. En el moment de superar la velocitat del so s’origina una ona de xoc molt energètica, capaç de provocar danys a persones i edificis. Es diu que es supera la barrera del so i el cos viatja a 1 Mach. Si la dublica a 2 Mach, etc.