Integración/Primeras aplicaciones/Áreas Cálculo de Áreas Áreas de regiones comprendidas entre la gráfica de una función y el eje X. Área encerrada entre dos curvas. Integración respecto a la variable y. Área de un círculo de radio r. Integración/Primeras aplicaciones/Áreas

Área encerrada por una gráfica y el eje X La figura de la derecha muestra la aproximación (escogiendo el punto medio) del área encerrada por la función f y el eje X. La Suma de Riemann correspondiente será la suma de las áreas de todos los rectángulos de la figura. La integral es el área de: la región comprendida entre la función f, y el eje x en el intervalo [a,b]. Ejemplo El área de la región representada en amarillo, es decir la comprendida entre la gráfica del seno, y el eje X en el intervalo [0,π] será: Integración/Primeras aplicaciones/Áreas

Funciones que toman valores positivos y negativos. En esta parte, con la fórmula anterior, nos daría una zona de área negativa. La fórmula para el cálculo del área solo es válida si la función es positiva en el intervalo [a,b]. Si la función f toma valores negativos, el área encerrada entre la gráfica y el eje x en el intervalo [a,b], se calculará por medio de la integral: El área de las regiones comprendidas entre las funciones f(x) y el eje x, y |f(x)| y el eje x son las mismas. Ejemplo El área encerrada entre la gráfica del seno y el eje x en el intervalo [0,2π] será: Integración/Primeras aplicaciones/Áreas

Área encerrada entre dos curvas El área encerrada por las gráficas de las funciones f(x) y g(x) en a ≤ x ≤ b viene dada por la integral: Ejemplo El área de la región comprendida entre las gráficas del seno y del coseno en π/4 ≤ x ≤ 5π/4 será Nota: sen(x) ≥ cos(x) si π/4 ≤ x ≤ 5π/4. Integración/Primeras aplicaciones/Áreas

Integración respecto a la variable y Ejemplo Hallar el área comprendida entre el eje X y las gráficas de las funciones y = x-2 y . Nota: Se trata de una simplificación técnica para ver estas funciones como funciones de y en lugar de x. Integrando respecto a y en vez de x es posible calcular el área a través de una integral y no de dos. Entonces las ecuaciones de las funciones serán x = y + 2 y x = y2. El área en cuestión es ahora el área entre las gráficas de estas funciones de y para 0 ≤ y ≤ 2. El área es por lo tanto, Áreas

Área de un círculo de radio r. La ecuación de una circunferencia de radio r es: x2 + y2 = r2. Por tanto el área encerrada por la función: para –r  x  r será la del semicírculo superior de la figura. El área del semicírculo será por tanto: Con el cambio de variable: x = ru, dx = rdu: Integración/Primeras aplicaciones/Áreas

Área de un círculo de radio r (2) El área del semicírculo de radio r será por tanto: Como la función del integrando es par: Con el cambio de Variable: u =sen(v) se obtiene: Respuesta El Área de un círculo de radio r será: Integración/Primeras aplicaciones/Áreas

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä