Funciones Compuestas e Inversas Funciones Compuestas Funciones Inversas Inversas de Funciones Exponenciales Inversas de Funciones Trigonométricas Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas

Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas Definición Observe que la función compuesta f o g puede ser definida por la fórmula de arriba siempre que el rango de la función g esté contenido en el dominio de la función f. Eje x Eje y Eje w Ejemplo Hay muchos modos de representar lo de arriba como una función compuesta. Nunca es única, depende del cálculo que quiera llevarse a cabo. Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas

Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas Observaciones Supón que las funciones f y g son funciones para las que está definida la función compuesta h = f o g. Si ambas son crecientes, entonces h también es creciente. Si f es creciente y g decreciente, entonces h es decreciente. Si f es decreciente y g creciente, entonces h es decreciente. Si ambas son decrecientes, entonces h es creciente. Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas

Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas Funciones Inversas Si una función f: A  B es inyectiva, se puede calcular x en función de y = f(x) suponiendo que y está en el rango de f. Esto define la función inversa de f. Definición Aquí el “-1” está aplicado a la función f en vez de a los valores de la función. Notación Atención Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas

Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas Encontrar Funciones Inversas Para encontrar la función inversa de una dada f: A  B se puede resolver x en función de y en la ecuación y = f(x). Si se puede resolver y la solución es única, la función f tiene inversa, y la solución define dicha función inversa. Ejemplo f f-1 y=x Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas

Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas El Logaritmo Sea a > 0. Sabemos que la función exponencial ax es creciente si a > 1 y decreciente si a < 1. En ambos casos la función ax es inyectiva. Por lo tanto la función exponencial tiene inversa. Definición Notación Definición Notación Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas

Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas Propiedades del Logaritmo Prueba La fórmula 1 y 2 sale de las propiedades de la función exponencial. Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas

Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas La Función Inversa del Seno y=sen(x) La función seno no es inyectiva ya que hay rectas horizontales que cortan a la función infinitas veces. Por lo tanto no se puede resolver x en función de y unicamente de la ecuación y=sen(x). De hecho, no hay soluciones si y > 1 o y < -1. Si -1  y  1, hay infinitas soluciones. La solución se vuelve única, si hacemos que esté entre -/2 y /2. Esto es equivalen a restingir el dominio de la función seno al intervalo [-/2, /2]. y=sen(x) y=arcsen(x) Definición Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas

Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas Función Inversa del Coseno y la Tangente Definición tan(x) arctan(x) arccos(x) cos(x) Funciones/Operaciones con funciones/Funciones compuestas e inversas

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä